Mówiąc o wymiarze przestrzeni, myślimy o trzech wzajemnie prostopadłych wektorach, nie zważając na to, że fizyczność reperu trzech wektorów ma uzasadnienie jedynie w naszych warunkach ziemskich, gdzie Ziemia w swojej płaszczyźnie daje dwa z nich, a kierunek ciężaru trzeci. Jeśliby nam przyszło rozwinąć cywilizację w miejscu, gdzie brak grawitacji, skąd wzięłaby się w naszym umyśle prostopadłość? Niech to pytanie będzie sygnałem wątłości naszych przesłanek co do wyboru konwencji matematycznych, które są dalekie od uniwersalności. Mimo to wymiarem, opartym na pojęciu reperu wzajemnie prostopadłych wektorów, fizycy posługują się nie tylko w makroświecie, ale i w mikroświecie, o którym już Riemann pisał, że zapewne rządzi się inną geometrią.
http://www.swietageometria.darmowefora.pl/index.php?topic=15.msg3717#msg37171.5 Cytaty
Platon
a) „Co do obrotów innych planet, ludzie ich nie znają, z wyjątkiem bardzo niewielu, i nie dają im nazw ani nie mierzą za pomocą obserwacji ich stosunków do Liczb. Toteż nic — żeby tak powiedzieć — nie wiedzą, że i ich obroty, których jest nieskończona ilość i zadziwiająca różnorodność, mierzą czas. Można mimo to zrozumieć, że doskonała liczba czasu wtedy wypełnia rok doskonały, gdy osiem obrotów po wyrównaniu swych szybkości powraca do punktu wyjścia — osiem obrotów mierzonych według orbity Tego Samego, które się porusza w sposób jednostajny”[236].
b) „Cały ten wszechświat raz sam Bóg prowadzi w biegu i sam go obraca, a raz go zostawia, kiedy jego obroty już osiągną miarę czasu jemu właściwego. Wtedy się wszechświat zaczyna sam kręcić w stronę przeciwną, bo on jest istotą żywą i dostał rozum od tego, który wprowadził weń harmonię na początku. (...) nie trzeba mówić, ani że świat się zawsze sam obraca, ani też że Bóg zawsze go obraca i w dwóch przeciwnych kręci go kierunkach, ani też że go kręcą jacyś dwaj bogowie, sobie nawzajem przeciwni, tylko (...) to jedno pozostaje, że raz go prowadzi przyczyna inna, boska, i on wtedy znowu nabiera życia i dostaje nieśmiertelność nabytą od swego wykonawcy, a raz, kiedy go Bóg opuści, on wtedy idzie sam przez się, jak długo jest zostawiony sam sobie. Tak, że z powrotem odbywa niezliczone obroty, bo jest czymś największym i najlepiej zrównoważonym, i biegnie, oparty na osi najcieńszej. (...) ruch obrotowy świata odbywa się raz w tym kierunku, co teraz, a raz w stronę przeciwną. (...). Tę przemianę trzeba uważać za największą ze wszystkich przemian, jakie się odbywają, i najbardziej zasadniczą we wszechświecie”[237].
2.5 Komentarz
Czy istnieje potrzeba wprowadzania dziś modeli kosmologicznych z „pitagorejskim”, cyklicznym czasem? Aby odpowiedzieć na to pytanie prześledźmy najpierw pokrótce w jakim punkcie znajduje się obecnie kosmologia ze względu na moc eksplanacyjną dotychczasowych jej modeli i ich zdolnośc do tłumaczenia znanych w dniu dzisiejszym empirycznych zjawisk, mówiących o budowie Wszechświata jako całości. Otóż, jak wiadomo, z równań Ogólnej Teorii Względności wynikają — przy dodatkowym założeniu homogeniczności oraz izotropowości Wszechświata — trzy możliwe typy jego geometrii, które były tu schematycznie przedstawione na rysunku 5. Owe trzy typy geometrii Wszechświata powiązane są ściśle zarówno z problemem wieku Kosmosu, jak i sposobem jego ewolucji. Zależą one, jak również powszechnie wiadomo, od gęstości materii w universum Ω: dla gęstości mniejszej od tzw. Gęstości krytycznej Ω0 otrzymujemy wszechświat hiperboliczny, dla większej — sferyczny, dla gęstości krytycznej zaś [Ω = Ω0] — wszechświat płaski.
Sferyczny model Wszechświata oznacza jego zamkniętość (w czasie oraz w przestrzeni). Natomiast modele płaski i hiperboliczny dają jako ich konsekwencję Wszechświat otwarty i być może nieskończony.
W każdym razie, potwierdzone przez Roukeme et al. wnioski Weeksa i Lumineta skłaniają do przyjęcia jako adekwatnego do rzeczywistości sferycznego modelu geometrii wszechświata. Tymczasem model ten uważało się dotąd raczej — w świetle obecnych obserwacji — za najmniej możliwy [wzgl. najmniej prawdopodobny]. Jak pisał o tym w 1998 roku A. Liddle: „Ci z nas, którym podoba się teoria inflacji, opowiadają się za modelem Wszechświata płaskiego. Niestety, coraz bardziej wygląda na to, że aby mogło to być prawdą, musimy raczej uwierzyć w istnienie stałej kosmologicznej, niż przyjąć, że Wszechświat ma po prostu gęstość krytyczną. Hiperboliczny (otwarty) model Wszechświata jest, oczywiście, nadal możliwy, natomiast Wszechświat o geometrii sferycznej (zamknięty) — bardzo mało prawdopodobny”[238].
Przeprowadzone od tego czasu obserwacje supernowych wskazują natomiast na coraz szybsze tempo rozszerzania się Kosmosu, a zatem wydawały się tym bardziej świadczyć przeciwko modelowi sferycznemu[239]. Wstępne bowiem wyniki obserwacji teleskopem Hubble’a supernowych z wysokim przesunięciem ku czerwieni zdawały się wskazywać na płaski — choć zarazem obecnie akcelerujący — model rozszerzającego się Wszechświata. Również dane ze stratosferycznej sondy balonowej BOOMERANG zdawały się sugerować poprawność płaskiego modelu Wszechświata. Najnowsze wyniki obserwacji mikrofalowego promieniowania tła sugerują tymczasem wartość gęstości materii Wszechświata w przedziale pomiędzy 1.00 a 1.04 gęstości krytycznej[240]. Uprawdopodobniało by to model sferyczny (lub ew. płaski). Istotnie — jak już pisaliśmy w A1 — najnowszy model Wszechświata opracowany przez zespół Jeffreya Weeksa i Jean-Pierre Lumineta w oparciu o wyniki promieniowania tła podane przez sondę WMAP posługuje się dodekahedralną przestrzenią Poincarégo, tzn. sytuuje się w każdym bądź razie w rodzinie modeli sferycznych.
Dodekahedralny Wszechświat Lumineta i Weeksa jest podwójnie ikosahedralną rozmaitością różniczkową rzędu 120, której podstawową domeną jest dodekahedr[241]. Model ów bardzo dobrze zgadza się z wieloma danymi przesłanymi przez sondę WMAP, istnieje jednak również inna propozycja interpretacji owych danych, dopasowująca je do płaskiego Wszechświata[242]. Przedstawia ją zespół Davida Spergla z Princeton University: „However, in response to Weeks's report, Spergel and his colleagues have announced evidence that contradicts the findings. They showed previously that if the Universe does produce a hall-of-mirrors effect, it should be possible to find a pattern of matching circles in the microwave background around which the fluctuations are identical (New Scientist print edition, 19 September 1998, p 28). Weeks's theory predicts six specific pairs of matching circles in the sky, but Spergel's team has had no luck finding them in WMAP data. "Weeks's team has a very powerful model that's nice because it makes a very specific prediction about the pattern we should see on the sky," says Spergel. 'However, we've looked for it, and we don't see it' [243].
Ostatnio wszakże polsko-francuski zespół naukowy w opracowanych przez siebie wynikach uzyskanych z sondy WMAP potwierdził model Weeksa i Lumineta, wyjaśniając zarazem negatywny wynik zespołu Spergela, jako spowodowany faktem, iż Wszechświat znajduje się dopiero na etapie wyewoluowania się pojedynczego [stanowiącego zatem obecnie prawie całą objętość universum] dodekahedru, przez co przewidywane w tym modelu teoretyczne zjawiska odbić w promieniowaniu tła są jeszcze b. słabe[244].
Należałoby w tym miejscu podnieść również jednak fakt, iż nie tylko dodekahedralny, ale wszelkie modele sferyczne (z racji tego, iż sferyczny Wszechświat działać by musiał jak skupiająca soczewka) przewidują istnienie na niebie tzw. obrazów-widm (ghost images) takich obiektów jak np. galaktyki czy kwazary[245]. W sferycznym Wszechświecie powinny występować obrazy-widma wszelkich w zasadzie obiektów [ściśle rzecz biorąc efekt ten może wystąpić również — choć w mniejszym na ogół natężeniu — także w nie-sferycznym universum]. W zależności od szczegółowej topologii takiego universum owe ghost images mogłyby być b. liczne (nawet nieskończenie liczne) i mogłyby dawać tzw. efekt sali lustrzanej[246]. Mimo jednak podejmowanych już od przedwojny licznych prób[247], do tej pory takowych obrazów nie udało się (przynajmniej jednoznacznie) zaobserwować[248]. Być może wszakże ostatni wynik polsko-francuskiego zespołu tłumaczy również ten fakt.
Mamy zatem obecnie w kosmologii do czynienia z “dramatycznym rozdarciem” pomiędzy dwoma konkurencyjnymi modelami (a raczej grupami modeli) wszechświata z jednej strony płaskiego, z drugiej zaś — sferycznego. Jak wyżej pokazaliśmy, istnieją silne argumenty obserwacyjne (włącznie z ‘dodekahedralnym’ materiałem zinterpretowanym tu po raz pierwszy przez nas) świadczące za każdą z tych opcji. Nie od rzeczy byłoby w takim razie przypuścić, iż może — wedle zasady, że ‘prawda leży pośrodku’ — obydwa owe modele są w jakimś stopniu adekwatne do fizycznej rzeczywistości. Istotnie, gdyby odrzucić klasyczną Kopernikańską Zasadę Kosmologiczną, tj. aprioryczne założenie o homogeniczności i izotropowości przestrzennej Wszechświata, moglibyśmy wprowadzić jako Jego model np. powierzchnię 4-wymiarowego toroidu rogowego, którego 3-wymiarową reprezentacją jest zwykły torus rogowy. Model taki byłby geometrycznie pośredni pomiędzy powierzchnią 4-wymiarowej hipersfery, reprezentującej sferyczną geometrię Kosmosu, a powierzchnią 4-wymiarowego torusa pierścieniowego, która jest przykładem jednego z najbardziej popularnych ostatnio modeli płaskich [por. rys.12].
Rys. 12 Torus pierścieniowy (u góry) jako rzut czterowymiarowego toroidu płaskiej geometrii Wszechświata oraz torus rogowy (u dołu) — przykład możliwej „geometrii pośredniej” która globalnie przypominałaby geometrię sferyczną (180o < suma kątów w trójkącie < 540o), lokalnie zaś byłaby zbliżona do płaskiej geometrii pierścieniowego torusa.
W naszym modelu ‘rogowym’ istnieje jeden punkt wyróżniony (środek torusa rogowego), który byłby tu modelem początkowego a zarazem końcowego punktu (propagacji) Wszechświata. Czas jest w tym wypadku cykliczny (wszechświat zamknięty), co dobrze zgadza się z naszymi ustaleniami nt. logicznie koniecznej natury czasu z poprzedniego paragrafu. W takim rogowym Wszechświecie nie będą występowały w zasadzie (poza punktem początku-końca) ghost images — także w promieniowaniu tła — co z kolei dobrze zgadza się z aktualnymi obserwacjami. Jednak taki Wszechświat — jako ‘globalnie sferyczny’ — ‘rozpinany’ byłby przez (przestrzenną) siatkę dodekahedralnych geodetyk, co znowu stoi w zgodzie do przedstawionych przez nas rozumowań i empirycznych danych.
W modelu tym jedynym pełnym obrazem-widmem byłby obraz-widmo punktu początkowego (osobliwego). Punkt ten zatem sam by siebie podwajał [ogólniej: multyplikował] — i w ten sposób byłby źródłem czasu. Dopóki bowiem mamy do czynienia z jednym tylko punktem — jedną chwilą — nie może istnieć ruch. Istnieje wówczas tylko (statyczna) wieczność. Czas zaś jest ex definitione „podwajaniem się”, multyplikacją (punktów i chwil).
Natomiast fakt, iż (cały) czas wszechświata musi być skończony jest logicznie konieczny. Rozważmy albowiem, co następuje. Weźmy dowolną miarę (tj. jednostkę) czasu. Niech to będzie — dla ustalenia uwagi — sekunda. Otóż sekunda jest (jedną) sześćdziesiątą częścią minuty, (jedną) 3600-tną częścią godziny etc. Ale, w wypadku istnienia czasu nieskończonego, sekunda byłaby 1/∞ — tj. [przy przejściu przez granice] dokładnie zerową! — częścią takiego czasu (czasu w ogóle, czasu jako takiego). Gdyby jednak sekunda była zerową (tj. żadną) częścią czasu w ogóle, to wówczas nie byłaby ona w ogóle częścią czasu. Nie będąc zaś w ogóle [żadną] częścią czasu nie mierzyłaby go przeto. Innymi więc słowy, gdyby czas był nieskończony, byłby on wówczas bezmierny — czyli byłby czasem bez miary, czasem pozbawionym miary. Nie można by było go przeto mierzyć. A skoro czas daje się jednak mierzyć, to musi być on przeto skończony, tj. określony (ograniczony kresem). Warto w tym miejscu odnotować, iż powyższe rozumowania występują rzecz jasna przeciwko faktycznemu (tj. realnemu) istnieniu wszelkich zbiorów nieskończonych, przeciw istnieniu to których (np. przeciw nieskończonej podzielności odcinka) występował już m.in. wielokrotnie cytowany tu przez nas G.W. Leibniz[249].
W powyższym modelu mamy więc do czynienia z czasem Wszechświata cyklicznym, zamkniętym — cały Wszechświat jest zaś periodyczny i pulsujący [także periodyczną jest zarazem wskutek tego przestrzeń, ale fakt ów jest również logicznie konieczny — przestrzeń musi być skończona i periodyczna z tych samych względów, z których te właśnie cechy posiadać winien czas]. Model czasu Wszechświata pulsującego [wzgl. periodycznego], czyli też cyklicznego pojawia się zresztą (również cyklicznie i periodycznie) od momentu stworzenia pierwszego tego rodzaju modelu przez R.C. Tolmana [por. rys. 13] co jakiś [nomen atque omen] czas w kosmologii. Może to świadczyć za tym, iż tego rodzaju intuicja czasu (i) Wszechświata jest (również w nauce) głęboko zakorzeniona[250].
Rys. 13 Kosmologiczny model Tolmana [za: M. Heller, 1983]. Jak pisze M. Heller: „Tolman wraz ze swoim współpracownikiem Morganem Wardem wykazali, że jeżeli w modelu oscylującym zachodzą procesy nieodwracalne, to okres trwania poszczególnych cykli wydłuża się, a ich amplituda rośnie [...], w fazie rozszerzania się Wszechświata entropia wzrasta, w fazie kurczenia się maleje, ale w kolejnych maksimach ekspansji entropia jest coraz większa. W ten sposób Wszechświat może oscylować nieograniczenie. Jednakże problem przejścia przez osobliwości nadal pozostaje nierozwiązany. Tolman na wszelki wypadek na wykresie pozostawił luki, nie narysował, jak sobie te przejścia wyobraża” [op. cit., s. 112-113].
Ponadto, przedstawiony tu przez nas model Wszechświata był zasadniczo już od samego początku logicznie konieczny, tj. koniecznie prawdziwy. To właśnie tak naprawdę nic innego, a jedynie powierzchnia 4-wymiarowego toroidu rogowego, może być poprawnym modelem, otrzymanym jako odpowiedź na pytanie o (czaso-)przestrzenny kształt Kosmosu. Jeżeli pytamy bowiem w jakim kształcie zamyka się Wszechświat w ogóle, to w odpowiedzi nie możemy — logicznie rzecz biorąc — wymienić żadnych szczegółów tegoż kształtu: to, co jest tylko w ogóle, nie jest w żadnym szczególe, nie może być niczym szczegółowym. Dlatego też najogólniej rozumianym kształtem Universum musiałby być kształt doskonale homogeniczny i izotropowy, co implikuje — jako odpowiedź na tak ogólne pytanie — kształt ‘idealnej’ [tyle, że 4-wymiarowej] Parmenidejskiej kuli[251] [scil. 3-wymiarowej powierzchni hipersfery]. Każda odpowiedź jest po prostu już logicznie zawarta w [poprawnie zadanym] pytaniu. Z zadania sobie tegoż pytania o najogólniej rozumiany charakter kształtu Wszechświata, wynika odpowiedź w postaci zasady kosmologicznej, głoszącej homogeniczność i izotropowość Kosmosu[252]. Problem polega wszak na tym, że kiedy pytamy o czasoprzestrzenne granice Universum, to zadajemy w istocie pytanie już nie o ten najbardziej ogólnie rozumiany kształt Wszechświata, ale pytamy o czasowe granice przestrzennych granic i — tym samym — wchodzimy już na poziom większej (choć dopiero pierwotnej, tj. minimalnej) szczegółowości.
Weźmy zatem logicznie konieczny 2-wymiarowy model przestrzeni Wszechświata. Musi nim być — zgodnie ze wszystkim, co zostało przed chwilą powiedziane — koło. Jeżeli zadamy sobie teraz pytanie o czasowe granice tak r
