Niewiele spraw wydaje się równie tajemniczych i trudnych do wyobrażenia, jak głębia mikro czy makro kosmosu. Mówiąc że wszechświat jest nieskończony, właściwie co mamy na myśli? Gdyby się zastanowić nad takim stwierdzenie można dojść do wniosku, że nie przekazuje ono żadnej informacji, oprócz deklaracji naszej niewiedzy. A jednak są ludzie, konkretnie matematycy, którzy zawodowo zajmują się rzeczami nieskończonymi, niewymiernymi, wielo wymiarowymi czy też nieprzeliczalnymi. Czas, który poświęcają temu zajęciu, może się wydawać niektórym mało produktywny, ale prawda jest taka, że to właśnie matematyka jest matką wszystkich nauk i jednocześnie językiem, którym posługuje się sama Natura. Gdyby nie rozwinęła się zaawansowana matematyka, tzn. od poziomu rachunku różniczkowego w górę, to praktycznie żadna ze zdobyczy technologicznych naszej cywilizacji nie mogłaby istnieć. Fakt, że w praktyce matematyka jest podstawowa względem innych gałęzi nauki, doprowadza do konkluzji – to dzięki zgłębianiu tajemnic liczby i operacji matematycznych powinniśmy móc ostatecznie rozszyfrować zjawiska naturalne.
Prawdopodobnie z takiego założenia wychodzili starożytni matematycy – Pitagoras, Tales, Archimedes – ci, których kojarzymy obecnie z fundamentalnymi twierdzeniami matematycznymi. Z biegiem czasu matematyka uległa zróżnicowaniu. Powstały dziwne i niezrozumiałe dla nie wtajemniczonych systemy, składające się z nowych twierdzeń i aksjomatów, np. geometria nieeuklidesowa w której suma kątów trójkąta nie wynosi dokładnie 180 stopni, topologia węzłów. Wciąż jednak aktywna była grupa badaczy zwracających się ku źródłu, czyli poszczególnym liczbom i ich wzajemnym zależnościom, w których dopatrywali się oni istoty wszystkich zjawisk. Właśnie liczbom naturalnym, liczbom Fibonacciego, złotej proporcji, pi itp. poświęcony jest ten esej. W drugiej części, czyli za miesiąc, zajmę się matematycznymi teoriami wykorzystywanymi przez graczy giełdowych (teoria Ganna i teoria Elliotta). Jeśli zanudzę Czytelnika, to będzie to wyłącznie moja wina, gdyż matematyka nudna nie jest.
Pi
„Pi” to szesnasta litera greckiego alfabetu, liczba niewymierna 3,141592... Liczbę pi poznajemy jako pierwszą w szkole – jako iloraz obwodu koła i jego średnicy. „Pi” to również tytuł i inspiracja niekomercyjnego filmu Darrena Aronofskiego. Bohater filmu Max Cohen jest stereotypowym naukowcem. Zamknięty w sobie, poświęcający każdą wolną chwilę matematyce, zaniedbujący doczesną egzystencję, prowadzi niekończącą się walkę z migrenowymi halucynacjami oraz ... liczbami. Jego obsesją jest odnalezienie reguły w chaosie dziesiętnego rozwinięcia liczby pi. Max przekonany jest, że światem rządzą reguły matematyki, objawiające się w wahaniach kursów walut, strukturze płatków śniegu, kształcie galaktyk. Słowem wierzy on, że matematyka jest prawdziwym językiem Natury, a wszystko to co postrzegamy jako przypadkowe i chaotyczne, można w rzeczywistości zrozumieć i przewidzieć. Max, jak każdy współczesny naukowiec posiada komputer (Euclid), przy pomocy którego analizuje sekwencję cyfr w liczbie pi. Z dnia na dzień przeczuwa, że jest coraz bliżej poznania odpowiedzi, a im bliżej jest celu, tym poważniejsze i bardziej groteskowe stają się jego ataki migrenowe. Pewnego dnia komputer analizując dane giełdowe, niespodziewanie drukuje 216 cyfrową liczbę, po czym zawiesza się a jego procesor ulega przepaleniu. Ma to stanowić ostrzeżenie dla Maxa. Taka jest właśnie kara, a może nagroda, za poznanie tajemnicy.
Max spotyka na swojej drodze ludzi, chcących wydobyć od niego rozwiązanie zagadki. Między innymi napotyka, niby przypadkiem w barze na Lennego – Żyda studiującego Kabałę. Aby zrozumieć sytuację mającą dalej miejsce konieczne jest krótkie wprowadzenie. Otóż na Kabałę składają się żydowskie pisma traktujące o kosmosie, Bogu i miejscu człowieka na Ziemi. Charakterystyczne dla Kabały jest przypisywanie konkretnym literom alfabetu hebrajskiego cyfr. Dzięki temu każdy wyraz posiada swój odpowiednik liczbowy identyfikujący jego powiązania z innymi słowami i określeniami. Złożony i hermetyczny system rozumienia określany jest jako Gematria. Na przykład słowo „ojciec” odpowiada liczbie 3, „matka” to 41. Jeśli zsumujemy obie liczby, wówczas otrzymamy 44. Jak sądzisz, czemu odpowiada ta liczba? Takich związków jest w Kabale więcej. Lenny pokazuje Maxowi znaczenie dwóch innych określeń; „ogród w Edenie” posiada wartość 144, zaś „drzewo poznania” to 233. Cóż z tego wynika? Otóż liczby 144 i 233 są ze sobą blisko związane i bardzo charakterystyczne. Są to kolejne liczby ciągu Fibonacciego, o którym w dalszej kolejności powiem więcej.
Max dowiaduje się od Lennego o mistycznym imieniu Boga, które raczej nie przypadkowo ma tą samą długość co liczba wydrukowana wcześniej przez komputer. W Kabale zawarty jest model „Drzewa Życia” – systemu dziesięciu Sefirot, będących emanacjami Boga a jednocześnie cnotami możliwymi do osiągnięcia tu, na Ziemi. Uważa się, że Sefiroty oraz ich wzajemne związki są kluczem do psychiki człowieka. Człowiek, który opanuje dziesięć Sefirot, wespnie się na górę drzewa życia i tym sposobem osiągnie oświecenie. Na każdym z trzech poziomów drzewa życia znajduje się cześć rozgałęzień. Tak więc mamy 6*6*6=216 (666 to również Liczba Bestii) odgałęzień, które razem stanowią snop mocy boskiej. Lenny, podobnie jak kilka innych postaci, próbuje zdobyć 216 cyfrową liczbę od Maxa. Jedyną osobą, która nie jest zainteresowana poznaniem prawdy jest Sol, dawny nauczyciel Maxa. Sol mówi Maxowi o swoich własnych próbach rozszyfrowania zagadki pi, które niestety zakończyły się fiaskiem. Sol zarzucił poszukiwania, gdy odkrył w pi samoreplikującego się, niebezpiecznego wirusa (umysłu). Oto jak tłumaczy on awarię komputera „Określone problemy powodują, że komputer zawiesza się w zamkniętej pętli. To właśnie ta pętla prowadzi do stopienia się procesora. Chwilę przed awarią, staje się on świadomy swojego istnienia.” Prawda jest pustką, a pustka prowadzi do destrukcji. Następnego dnia okazuje się, że Sol nie żyje. Przypuszczać można, że podzielił on los komputera należącego do Maxa, chcąc dokończyć pracę. Ten jednak nie zraża się i dalej prowadzi poszukiwania prawdy. Na koniec, nie wiadomo czy w fantasmagorii czy też w rzeczywistości wierci sobie dziurę w głowie. W ostatniej scenie widzimy Maxa rozmawiającego w dzieckiem w parku. Ponieważ jest on znany z umiejętności błyskawicznego liczenia w pamięci, dziecko prosi go o podanie wyniku skomplikowanej operacji. Max nie potrafi przeprowadzić obliczeń.
Film „Pi” jest oczywiście fikcją, ale jak mówi sam reżyser przeplataną elementami prawdy (np. wykład Lennego o Kabale). Z całą pewnością prawdziwa jest odwieczna fascynacja samą liczbą pi. Na przykład długość obwodu piramidy podzielona przez podwójną jej wysokość daje 3,14159 – liczbę pi z dokładnością do piątego miejsca po przecinku, co jest tym bardziej dziwne, że Egipcjanie nie znali pojęcia koła. Czy więc pojawienie się pi w piramidach nazwać trzeba przypadkiem. Powiedziałbym raczej, że współzależnością, gdyż taki właśnie kształt, wynikający z określonego stosunku obwodu i wysokości powoduje specyficzne właściwości piramidy, spośród których najbardziej znane jest ostrzenie żyletek, czy też konserwacja żywności. Obecnie prowadzone są naukowe badania nad właściwościami Piramid i matematyczne nad liczbą pi. Ciekawostka jest wynik uzyskany przez profesora Yasumasa Kanadę w 1997. Zamiast szukać powtarzających się ciągów w liczbie pi, zsumował on częstość występowania poszczególnych cyfr wśród pierwszych 50 miliardów pozycji rozwinięcia dziesiętnego. Okazało się najczęściej występującą cyfrą jest 8, później 4 2 7 0 5 9 1 6 3, przy czym cyfr 3 jest o 100000 mniej niż 8. Trwają również pracę nad uzyskaniem możliwie najdłuższego rozwinięcia.
Oczywiście możemy sobie zadać pytanie o zasadność uzyskanej w ten sposób wiedzy. Możliwe, że proces badania tych związków prowadzi do obsesji i szaleństwa, o czym wspomina Sol w filmie „Pi” a przestrzegają średniowieczni Kabaliści. Naukowiec staje się coraz mniej obiektywny, selektywnie wyszukujący przejawy „swojej” liczby w otoczeniu i ignorujący wszystkie inne, w efekcie dochodząc do mylnego wniosku. Granica między złudzeniem a prawdą jest bardzo cienka, tym bardziej, że zaawansowana matematyka jest trudna do empirycznego zweryfikowania i sprawdzenia, czy wynik przystaje do rzeczywistości. Prawda zawarta w liczbach pokroju pi nie jest złudzeniem, o czym przekona się Czytelnik w następnym rozdziale.
Fibonacci i złoty podział
Pora dowiedzieć się, co znaczą liczby 144 i 233. W tym celu wyobraźmy sobie, że hodujemy króliki. Zasady naszego eksperymentu mentalnego są proste: zaczynamy od jednej pary, każda samica królika wydaje na świat potomstwo w miesiąc po kopulacji; konkretnie jednego samca i jedną samicę. W miesiąc po urodzeniu królik może przystąpić do reprodukcji. Jak w takiej sytuacji, będzie wyglądał rozwój naszej farmy, ile par królików będzie liczyła po jednym roku? Przy końcu pierwszego miesiąca możemy się spodziewać krótkiego sparingu w pierwszej parze królików. Pod koniec drugiego miesiąca samica urodzi parę młodych, tak więc na farmie będą już dwie pary. W trzecim miesiącu będziemy mieli już trzy pary, gdyż pierwsza samica wyda na świat kolejne potomstwo, a urodzone wcześniej przystąpi do kopulacji itd. W łatwy sposób można obliczyć, że liczebności w kolejnych miesiącach będą wynosić 1,1,2,3,5,8,13,21,34...Czy widzisz, w jaki sposób można rozszyfrować ten ciąg? Kolejne jego elementy stanowią sumę dwóch wcześniejszych np. 21 = 13 + 8. Szereg liczb obrazujący m.in. rozród królików nosi nazwę ciągu Fibonacciego. Jego twórca był w samej rzeczy najsłynniejszym matematykiem epoki średniowiecza ale prawdopodobnie nie spodziewał się, że właśnie to odkrycie przyniesie mu nieśmiertelność. Wzmiankę o ciągu odnalazł na marginesie księgi „Liber Abaci” Fibonacciego inny matematyk. Później okazało się, że ta banalna z pozoru zależność opisuje szereg zjawisk naturalnych (opisuje kształty i procesy fizyczne), a ponadto ściśle wiąże się z geometrią i sztuką (zjawiska oparte na nim sprawiają są atrakcyjne dla ludzkich zmysłów). Z tego powodu, spośród wszystkich ciągów geometrycznych, ciąg Fibonacciego okazał się najbardziej istotny. Po kolei jednak. Jak powiedziałem jego podstawową własnością jest to, że każda liczba (począwszy od trzeciej) jest sumą dwóch liczb poprzedzających. To nie wszystko. Jeśli podzielimy dowolną liczbę ciągu przez liczbę ją poprzedzającą wówczas otrzymamy iloraz oscylujący wokół 1,61804 - znany w geometrii jako złota proporcja, zapisywana przy pomocy 21 litery alfabetu greckiego „phi” (im większe liczby dzielimy, tym iloraz jest bliższy złotej proporcji). Odcinek podzielony na dwie części zgodnie z zachowaniem reguł złotej proporcji to taki, w którym większa część pozostaje w takiej samej relacji do mniejszej, jak całość do większej. Tylko jedna proporcja pozwala na taki podział odcinka - jest to właśnie złota proporcja, czyli liczba phi. Aby zrozumieć związek między królikami i odcinkami geometrycznymi wystarczy wyobrazić sobie, że dowolny odcinek dzielimy na dwa przy użyciu złotej proporcji, a następnie układamy odcinki na linii w kolejności od najkrótszego do najdłuższego. Suma pierwszego i drugiego daje trzeci, pierwszy można ponownie podzielić, trzeci z drugim daje czwarty itd. Można powiedzieć, że ciąg Fibonacciego jest przeniesieniem złotej proporcji na zbiór liczb naturalnych (liczb będących wielokrotnością liczby 1). Aby otrzymać dokładną liczbę phi na drodze obliczeń matematycznych należy rozwiązać następujące równanie kwadratowe phi*phi = phi + 1. Nie wnikając w szczegóły, po jego rozwiązaniu otrzymujemy dwie wartości, czyli dwa punkty zerowe przecięcia funkcji f(x) = phi*phi - phi - 1. Drugą oprócz phi= (sqrt(5)+1)/2 jest 0,618033 czyli (sqrt(5)-1)/2 (czyli również 1-phi), która to liczba stanowi proporcję mniejszego odcinka do większego. Warto wiedzieć, że złota proporcja istniała daleko przed greckim matematykiem Pitagorasem, którą ją spopularyzował. Najstarsza wzmianka o phi jako o „świętej proporcji” sięga 1650 rok p.n.e kiedy to spisano w Egipcie papirus Rhinda opisujący konstrukcję Wielkiej Piramidy w Gizie. Po tych nieco teoretycznych rozważaniach czas pokazać miejsce liczby phi i ciągu Fibonacciego w przyrodzie.
Najbliższe nam liczby Fibonacciego to 1,2 i 5, pięć palców u każdej ręki, dwie kończyny górne i dwie dolne, pięć zmysłów, trzy wypustki głowy (dwoje uszu i nos), trzy otwory głowy (dwoje oczu i usta) i pojedyncze organy, których nie muszę wymieniać. W tym schemacie identycznych części ciała brakuje liczby 4, a nawet jeśli uznamy cztery kończyny za należące do tej samej kategorii, to znacznie więcej znajdziemy w naszym ciele liczb 5. Poza tym, u większości ludzi wysokość do pępka stanowi 0,618 łącznej wysokości, co zauważył i naszkicował Leonardo da Vinci. Jeśli zmierzymy długość poszczególnych kości palców wówczas ich proporcje będą również oscylowały wokół liczby phi.
Najbardziej efektownym przejawem istnienia złotej proporcji w świecie zwierząt są zapewne muszle, których kształt układa się zgodnie z przebiegiem tzw. Spirali Fibonacciego. Aby matematycznie uzyskać taką spiralę należy przeprowadzić resekcję zgodnie ze złotym podziałem w dwóch wymiarach przestrzeni. Wyobraźmy sobie odcinek podzielony na dwa mniejsze w ten sposób, że mniejszy ma się tak do większego, jak większy do całości. Odcinek większy staje się bokiem kwadratu, który dorysowujemy, zaś odcinek mniejszy tworzy wraz z drugim bokiem tego kwadratu prostokąt. W efekcie otrzymujemy prostokąt, podzielony ma kwadrat i mniejszy prostokąt. Następnie dzielimy mniejszy prostokąt w identyczny sposób i postępujemy tak, aż do utraty rozdzielczości na kartce papieru. Teraz w każdym kwadracie zakreślamy ćwiartkę okręgu, o promieniu równym długości boku, a po połączeniu wszystkich ćwiartek otrzymujemy gotową spiralę. Przyglądając się tej spirali i muszli ślimaka, od razu zauważamy wyraźne podobieństwo. Złota spirala występuje w większości kształtów muszli ślimaków czy ostryg. Wszystko dlatego, że im są one większe tym szybciej rosną, podobnie jak powiększa się nasza hodowla królików.
Ciąg Fibonacciego i złote proporcje są bardzo dobrze widoczne również w świecie flory. Zjawisko zwane spiralną filotaksją cechuje bardzo wiele gatunków drzew i roślin. W przypadku drzew chodzi tutaj o strukturę gałęzi układających się spiralnie wokół pnia, w świecie roślin mamy na myśli liście. Gdyby ponumerować gałęzie zgodnie z wysokością na jakiej wyrosły wówczas okaże się, że liczba gałęzi sąsiadujących pionowo jest liczbą Fibonacciego, a ponadto liczba gałęzi pomiędzy gałęziami sąsiadującymi pionowo również jest liczbą Fibonacciego. Jeśli spojrzymy w dół na roślinę wówczas zauważymy, że liście wzajemnie się nie zasłaniają, co umożliwia maksymalne wykorzystanie energii słońca oraz zebranie największej ilości deszczu, który spływa po liściach do pnia i korzenia. Reguła spiralnej filotaksji umożliwia ponadto maksymalne wykorzystanie posiadanego miejsca. Jest również uniwersalna i niezależna od wielkości rośliny.
Odmiany roślin różnią się współczynnikiem filotaksji, ale niezmiennie występuje w nim liczba Fibonacciego. Kwiaty wielu roślin podlegają „regule” Fibonacciego, np. lilie i irysy mają 3 płatki, niektóre astry 21 płatków. Podobnie jak w to ma miejsce w przypadku gałęzi i liści, występują odchylenia od tej zasady, aczkolwiek średnie są zawsze bardzo bliskie liczbom Fibonacciego. Bardzo dobrym reprezentantem reguły Fibonacciego jest swojski słonecznik. Wykazuje on spiralną filotaksję jak również jego pestki ułożone są wzdłuż logarytmicznych krzywych biegnących grupami w różnych kierunkach. Liczba krzywych w każdej grupie jest liczbą Fibonacciego, zaś liczba grup równie należy do ciągu Fibonacciego. Nie wszystkie gatunki roślin działają zgodnie z ciągiem Fibonacciego i zasadą spiralnej filotaksji. Niektóre na przykład funkcjonują w oparciu o ciąg Lucasa, tworzony dokładnie tak jak Fibonacciego, tyle tylko, że pierwszymi wyrazami ciągu są liczby 2 i 1 (następna 7,9,16). Ze świata roślin sięgnąć można do Wszechświata: fale radiowe wysyłane przez pulsary odpowiadają liczbom Fibonacciego, periodyczność występowania plam na słońcu wynosi niemal dokładnie 5 razy pierwiastek z 5.
Skoro złoty podział i liczby Fibonacciego występują tak często w przyrodzie, spodziewać się można, że zagoszczą one również w sztuce, będącej imitacją i czerpiącej kryteria piękna właśnie z natury. Jak wykazały eksperymenty psychologiczne, badani spośród różnych prostokątów wybierają najczęściej te, odpowiadające złotej proporcji (takich, dla których proporcja boków wynosi 1,618). Złote proporcje wykorzystywano bardzo chętnie od wieków, w celu uzyskania harmonii i piękna w architekturze. Jak pisałem liczbę phi wykorzystano przy budowie Wielkiej Piramidy w Gizie. Proporcją posłużono się również przy budowie Partenonu w Atenach. W tym ostatnim wyraźnie widać współwystępujące kształty prostokątów, takich jak ten, który stworzyliśmy przy kreśleniu Spirali Fibonacciego. Później, złotą proporcję stosowano przy budowie katedr zwanych gotyckimi. Obecnie jest równie chętnie stosowana przez architektów jak niegdyś. Spośród artystów stosujących phi wymienić należy Albrechta Durera, Georgesa Seurata, Paula Signaca oraz oczywiście Leonarda da Vinci (warto przyjrzeć się obrazowi „Madonna z dzieciątkiem”). Słynny Stradivarius korzystał ze złotego podziału podczas konstruowania swoich najlepszych wiolonczeli. W artykule zamieszczonym w roku 1996 w piśmie American Scientist Mike Kay pisze o tym, że większość z sonat Mozarta podzielona była na dwie części dokładnie z zachowaniem złotej proporcji. Na pytanie, czy Mozart robił to intuicyjnie czy świadomie (gdyż był zafascynowany matematyką) nie poznamy raczej odpowiedzi. Inni badacze odnajdowali złote proporcje w Piątej Symfonii Beethovena oraz w muzyce takich wirtuozów jak Bartok, Debussy, Schubert i Satie.
Odnalazłszy tyle przejawów ciągu Fibonacciego oraz liczby phi w przyrodzie i sztuce nie można mieć wątpliwości, że faktycznie „coś w tym jest”. Pozostaje otwarte pytanie, czy nie popadliśmy w przesadę próbując dostrzec „phi” tam, gdzie go naprawdę nie ma lub jest, ale przypadkiem. W jednej ze scen filmu „Pi” Sol przestrzega Maxa, aby ten nie naginał faktów do przekonań. Można przecież liczyć wszystkie występujące zdarzenia, by wśród nich przez przypadek odnaleźć te liczby i zależności na których nam zależy. To, czy taka obserwacja jest wartościowa zależy od liczby przypadków, które odrzuciliśmy jako nie potwierdzające reguły. Na nieszczęście umysł człowieka nie funkcjonuje jak komputer, selekcjonuje już w pierwszej fazie poznania, zauważając tylko te zdarzenia, na które osoba jest wewnętrznie ukierunkowana. Tak więc ktoś, kto planuje zakup marki danego samochodu zacznie zauważać więcej podobnych samochodów na ulicy niż wcześniej, co utwierdzi go w przekonaniu, że zakup będzie korzystny, bo przecież większość nie powinna się mylić. Nie chodzi tutaj o to, aby negować intuicję, przeświadczenie o istotności danego faktu, ale aby krytycznie weryfikować, z równą siłą akceptować fakty, jak i odrzucać. W jedną, czy w drugą stronę pójdziemy, krytykanctwa lub nierealnego optymizmu nie odnajdziemy Prawdy.
Cykle na giełdzie
Spośród znanych nam, ogólnych właściwości naszej rzeczywistości, najbardziej charakterystyczne jest występowanie cykli - od nich też zaczniemy naszą interdyscyplinarną wędrówkę. Już Christiaan Huygens, holenderski fizyk urodzony w 1629 roku twierdził, że światło nie jest strumieniem cząstek, jak wcześniej uważano, lecz falą. Później pokazano, że również cząstki elementarne posiadają cechy zarówno falowe jak i korpuskularne. Konsekwencją tego jest ogólne stwierdzenie, że nasz świat, ten widzialny i znacznie obszerniejszy niewidzialny, jest efektem splotu, mówiąc fachowo interferencji fal o różnych długościach i częstotliwościach.
Co za tym idzie, cykliczność i okresowość jest również charakterystyczna dla organizmów żywych i procesów w których uczestniczą. W artykule mówić będziemy o giełdzie papierów wartościowych jako przykładzie systemu tworzonego przez jednostki ludzkie, ich nastroje, cykle biologiczne, procesy myślenia itp. O ile jednak już pojedyncza jednostka jest bardzo złożonym systemem, o tyle zachowanie zbiorowości z rzadka bywa przewidywalne. Wyobraźmy sobie setki tysięcy nakładających się cykli indywidualnych inwestorów na giełdzie. Wypadkowa powinna być szumem, ale nim nie jest, ponieważ cykle inwestorów synchronizują się ze sobą dając efekt tzw. „myślenia grupowego”. Jednym z pierwszych badaczy, który zainteresował się psychologią myślenia grupowego był Le Bon, autor słynnej książki „Psychologia tłumu”. Później temat podjęła socjologia, ekonomia i psychologia społeczna (choć tę ostatnią bardziej interesowało zachowanie człowieka grupie, mniej zachowanie samej grupy). Mimo prób sformalizowania zachowań grupowych, nadal są one niezrozumiałe, czasem ocierają się nawet o ezoterykę. Mówi się na przykład o świadomości kolektywnej, umyśle Gai, polu morfogenetycznym. Tematy te rozwinąłem w innych swoich artykułach, do których odsyłam zainteresowanego czytelnika (konkretnie "Cykle Życia" i "Globalna Świadomość"). Praktycy, między innymi gracze giełdowi, z efektem myślenia grupowego na giełdzie wiążą przede wszystkim istnienie cykli.
Zanim przejdziemy do szczegółowego omówienia, odpowiedzmy sobie na pozornie proste pytanie: czym jest cykl i jak powstaje? Wydaje się, że podstawową przyczyną istnienia cyklu jest powszechne istnienie w przyrodzie negatywnych sprzężeń zwrotnych. Negatywne, nie oznacza niekorzystne, lecz stabilizujące. Na zasadzie negatywnego sprzężenia działają na przykład termostaty wyregulowane na utrzymywanie określonej temperatury pomieszczenia. Wzrost ponad ustalony poziom równowagi powoduje zamknięcie zaworów doprowadzających ciepłą wodę do kaloryferów, spadek temperatury powoduje ich otwarcie i większy przepływ. Negatywne sprzężenie oznacza więc odwrotnie proporcjonalny stosunek reakcji układu do zmian wewnętrznych. Układy biologiczne składają się z tysięcy takich sprzężeń regulujących poziom neurotransmiterów, cukru we krwi, szerokości źrenicy itp. Adaptacja nie jest jednak dostatecznym warunkiem powstania cyklu. Oto dwa inne warunki. Cykliczność spowodowana jest przez opóźnienie w działaniu takiego sprzężenia - adaptacja nie jest natychmiastowa lecz przebiega stopniowo.
Ponadto, cykle są regularnymi zegarami, czyli są wywoływane przez bodźce powtarzalne. Idea nie jest prosta więc proszę o uwagę. Cykl wynika ze wspóistnienia dwóch wzajemnie ze sobą powiązanych procesów, co wyjaśnia tzw. koewolucja. Cykle wielu elementów środowiska są ze sobą ściśle połączone. Na przykład wzrost ilości gatunku A żywiącego się gatunkiem B, powoduje spadek ilości B, niedożywienie populacji A, zmniejszenie liczby osobników A, zwiększenie liczby B itd. Jak widać, oba gatunki sprzężone są ze sobą poprzez niekończące się oscylacje i de facto koewoluują stając się w każdym cyklu coraz doskonalsze. James Lovelock twierdzi nawet, że dzięki koewolucji, która jest czymś innym niż ewolucja, ukształtowała się cała biosfera Ziemi. Na podobnej zasadzie, jak omówione procesy środowiskowe sprzężone są procesy wewnętrzne.
W ten sposób omówiłem cykliczne związanie zjawisk na tym samym poziomie. Mamy też do czynienia z hierarchią cykli. Cykl okołodobowy człowieka dopasowuje się do cyklu wyższego rzędu, jakim jest cykl dnia i nocy, a cykl okołodobowy jest nadrzędny w stosunku do cyklu 90 minutowego. Koewolucja systemów oraz hierarchia cykli wewnątrz tych systemów prowadzą do powstawania niezwykle skomplikowanych i z pozoru nie cyklicznych fluktuacji Dodatkowym powodem małej przewidywalności są wstrząsy, o których będzie jeszcze mowa. Mimo to, źródłem wszystkich obserwowalnych zjawisk są cykle.
Podobne zjawiska zachodzą na giełdzie. Poszczególni inwestorzy synchronizują się z cyklem wyższego rzędu organizmu grupowego, cyklu koniunkturalnego, w efekcie czego obserwujemy stabilne tendencje spadkowe (bessa) i tendencje wzrostowe (hossa). Mówiąc o cyklach wysokiego rzędu nie sposób wspomnieć o 11 letnim cyklu występowania plam na Słońcu, zsynchronizowanym z występowaniem okresów susz, które z kolei mają wpływ na gospodarkę, a te na ceny akcji. Najdłuższym i najlepiej udokumentowanym cyklem długim jest 54 letni cykl koniunkturalny odkryty przez rosyjskiego ekonomistę Mikołaja Kondratiewa, którego występowanie stwierdzono na rynkach stóp procentowych, cen miedzi, bawełny, pszenicy, akcji i rynków hurtowych. Większość z mniej znanych cykli opisał Edward Dewey w swojej książce „Cycles: The Mysterious Forces that Trigger Event”. Autor wymienia na przykład 9,6 letnie cykle dobrych połowów atlantyckich, eksplozji populacji gąsienic, cen bawełny w USA; 9,2 letni cykl rynku kapitałowego, 22 letni cykl wojen toczonych w latach 1415-1930. Obserwując podobieństwo i powszechność cykli Dewey doszedł do wniosku, że istnieje coś w rodzaju pulsu Wszechświata, dyktującego nam, małym żuczkom, co mają robić i kiedy. Tymczasem gracze giełdowi muszą przewidzieć co zrobią inni, by zrobić to wcześniej.
Receptą na sukces spekulacyjny jest wyłamanie się z trendu, czyli kupno zanim ceny akcji osiągną dno i odbiją od niego, oraz sprzedaż przed maksymalnym pułapem cen, kiedy to akcje są trudno zbywalne, bo WSZYSCY chcą sprzedać i w efekcie zwiększonej podaży cena zaczyna spadać. Jedną z metod, stosowanych w praktyce analizy technicznej, jest analiza cykli giełdowych. Znajomość jej zasad nie daje oczywiście gwarancji powodzenia. Odnoszący sukcesy inwestor dysponuje zazwyczaj wieloma metodami analizy danych giełdowych, pomiędzy którymi znajduje się analiza cykli, oscylatory, analiza trendu, analiza fundamentalna itp.
Podstawowym źródłem danych do celów analizy cykli jest wykres obrazujący ceny akcji lub indeksów giełdowych (ceny grup akcji) w kolejnych odcinkach czasu lub sesjach giełdowych. Efekt, który widzimy na wykresie jest złożeniem wielu różnych procesów, w tym liniowych, cyklów o różnych okresach (których pomiar dokonuje się od dołka do dołka) i amplitudach. Niekiedy ceny układają się w wyraźne oscylacje, zazwyczaj jednak wyraźny cykl można uzyskać po ujawnieniu trendu liniowego średnią kroczącą, potraktowaniu danych analizą Fouriera, analizą spektralną itp. Prawda musi być dostatecznie głęboko ukryta, gdyż giełda jest polem rywalizacji, w której przewagę zyskują inwestorzy potrafiący lepiej przewidywać przyszłość. Główną zasadą podczas analizy cykli jest przechodzenie od dominujących cykli długich, obejmujące wiele lat, po cykle średniookresowe, od 9 do 26 tygodni, i cykle transakcyjne trwające około cztery tygodnie (czyli 28 dni - cykl księżycowy). Po wyznaczeniu cyklu wysokiego rzędu, określić można specyficzne zachowanie się cyklu niższego, zwane lewą lub prawą translacją, a polegające na tym, że jeśli cykl wyższego rzędu jest w fazie wzrostowej, wówczas szczyt cyklu niższego rzędu przesuwa się na prawo i vice versa. Od siebie dodałbym również zasadę, iż po pojawieniu się dwóch regularnych i łatwo rozpoznawalnych cykli, następny powinien być zaburzony. W celu zapoznania się z zaawansowanymi metodami analizy cykli proponuję lekturę podręczników wydawanych przez WIG-Press.
Wstrząsy i współczynnik Fibonacciego
Cykliczność jest zachowawczą cechą systemów dynamicznych. Jak powiedzieliśmy, oscylacje wokół poziomu równowagi są powodowane przez proces negatywnego sprzężenia zwrotnego przywracającego równowagę w systemie. Drugą cechą systemów jest oczywiście rozwój, polegający na wejściu na wyższy poziom równowagi w efekcie zadziałania dodatkowego czynnika. Z tzw. „wstrząsem” mamy do czynienia, gdy siła bodźca jest na tyle duża, iż chwilowa adaptacja nie jest możliwa i konieczne jest całkowite przeorganizowanie systemu. Regularny cykl może ewoluować, na stałe zmieniając swój okres i amplitudę. Może to mieć miejsce, gdy spółka giełdowa prezentuje bardzo pozytywne lub bardzo negatywne wyniki finansowe. I tutaj, jak pisze Tony Plummer, w „Psychologii rynków finansowych”, mamy do czynienia ze złotą spiralą i współczynnikiem Fibonacciego, wynoszącym w przybliżeniu 1,618. Przypomnijmy sobie konstrukcję złotej spirali przy użyciu prostokątów, których dłuższy bok pozostaje z krótszym w złotej relacji. Długość każdego kolejnego prostokąta stanowi amplitudę jednego cyklu sinusoidalnej fali. Kolejne, nazwijmy to generacje fal, posiadają amplitudę mniejszą o 2,618 od poprzedniej (1,618*1,618) oraz krótszy okres. Jeśli nasza intuicja jest skuteczna, to rynek reagujący na wstrząs powinien zmieniać swój przebieg zgodnie z mechanizmem spirali. Chcąc wyznaczyć nowy poziom ceny na podstawie zaobserwowanego cyklu powinniśmy zastosować następujący wzór Cena nowa = Cena w dołku + (Cena maksymalna - Cena w dołku) * 2,618 (lub :2,618 jeśli mamy do czynienia ze wstrząsem negatywnym, np. ogłoszeniem niekorzystnych wyników finansowych spółki), czyli przekładając to na potoczny język: wysokość następnego cyklu jest iloczynem 2,618 i wysokości cyklu wcześniejszego. W książce Plummera znaleźć można całą masę przykładów występowania tej właśnie proporcji lub proporcji pochodnych, czyli 1,618; 0,618, na walutowych rynkach amerykańskich i niemieckich. Powstaje tylko pytanie; na ile nasze obserwacje są wybiórcze a na ile obiektywne. W pierwszej części mówiliśmy o podstawowym błędzie występującym w trakcie testowania hipotez, który polegał na odnajdowaniu przypadków potwierdzających regułę i nie zauważaniu sprzecznych z nią. Być może inne mnożniki, niż 1,618 okazałyby się równie „magiczne”, gdyby tak wcześniej założyć.
Trudno zaprzeczyć, że cała teoria ma charakter bardzo ezoteryczny i tajemniczy. Warto w tym miejscu przywołać poglądy Georgija Gurdżijewa, który z giełdą papierów wartościowych nie miał prawdopodobnie nic do czynienia, a mimo to w podobny sposób definiuje prawa sterujące powstawaniem cykli i fal. Informacje, które tutaj przedstawię pochodzą z książki ucznia Gurdżijewa, Piotra Demianowicza Uspieńskiego, pt. „Fragmenty nieznanego nauczania - w poszukiwaniu cudownego”. Otóż Gurdżijew opisywał rozwój i ewolucję różnych poziomów naszej rzeczywistości przy użyciu metafory muzycznej. Twierdził on, że „skala siedmiotonowa jest wzorem kosmicznego prawa, które zostało wypracowane przez pradawne szkoły i zastosowane w muzyce”. Swoją teorię ilustruje on rysunkiem odcinka, którego jeden odcinek odpowiada częstotliwości 1000 hz a drugi odcinek podwojonej wibracji, czyli 2000 hz. Pomiędzy końcami odcinka umieszczone są nuty do, re, mi, fa, sol, la, si, do stanowiące pełną oktawę. Nuty te nie dzielą oktawy w równych odcinkach, np. pomiędzy mi i fa występuje „opóźniony wzrost”, podobnie jak pomiędzy si i do. Już na pierwszy rzut oka widać (str. 179), że opóźniony wzrost dzieli odcinek na dwie części zgodnie ze złotym podziałem. Najciekawsze jest to, że Uspieński w żadnym miejscu swojego wywodu nie wspomina o złotym współczynniku; on niejako wynika z zupełnie innych założeń. Gurdżijew zwraca uwagę na dodatkową kwestię, wstrząs będzie miał trwały skutek, o ile nastąpi on dokładnie w trakcie „interwału pomiędzy mi i fa. Jeśli w tym momencie włączy się odpowiednia energia dodatkowa, to oktawa będzie rozwijała się bez przeszkód...” (str.189)”. Jest to dodatkowa wskazówka dla inwestorów, wyczekiwanie określonego momentu i obserwacja otoczenia w poszukiwaniu „dodatkowej energii”, która może wywołać odwrócenie lub pogłębienie cyklu. Oczywiście przedstawiony przeze mnie związek może być złudzeniem, a jego stosowanie ryzykiem, ale na tym przecież opierają się spekulacje giełdowe.
Teoria Ganna
W.D. Gann był, obok R. N. Elliotta, jednym z najwybitniejszych twórców teorii gry giełdowej wykorzystujących do praktycznych celów liczby naturalne. W latach 30 Gann dorobił się niemałej fortuny, dzięki odkrytym przez siebie prawidłowościom. Po zakończeniu kariery maklera giełdowego, Gann zajął się pisaniem książek i prowadzeniem kursów dla początkujących adeptów sztuki spekulacji. Teoretyczne założenia systemu Ganna już na pierwszy rzut oka wydają się bardzo ezoteryczne i tajemnicze. Plummer sugeruje, że sam autor nie do końca wiedział dlaczego opracowane przez niego metody sprawdzają się w praktyce. Przede wszystkim wierzył on w koncepcję oscylującego i wibrującego wszechświata, w którym wszystkie pierwotne czynniki pozostają w stanie wibracji a rzeczywistość przenika podstawowy puls. Gann posługiwał się dwoma koncepcjami: spirali – obrazującej ruchy cen oraz koła – opisującego przemijanie i oscylacje. Przy pomocy spirali logarytmicznej, choć nie nazywanej przez niego w ten właśnie sposób, Gann wyznaczał potencjalne punkty zwrotne cen akcji. Gann uważał, całkiem zresztą słusznie, że ostatnia najniższa cena ma istotne znaczenie psychologiczne dla kształtowania się kolejnych poziomów cen.
Najniższa cena i spirala logarytmiczna znajdują swoje odbicie w kwadracie cenowym Ganna, który jest konstruowany w ten sposób, że w jego centrum znajduje się najniższa cena, dajmy na to 1, po czym na prawo umieszczamy wartość większą o jednostkę, poniżej niej następną wartość i postępując metodycznie, zgodnie z ruchem wskazówek zegara, tworzymy spiralę wokół ceny centralnej. W następnym etapie wytyczamy przez środek kwadratu linie poziome, pionowe i ukośne. Gann uważał, że wszystkie wartości znajdujące się na tych liniach stanowią potencjalne punkty zwrotne, na które inwestor powinien zwracać szczególną uwagę. Postępowanie z takim kwadratem cenowym nie jest sprawą prostą, zajęcie to bardziej angażuje intuicję niż logikę. Przede wszystkim Gann nie określił, które z wielu powstałych na przecięciach liczb są naprawdę istotne a więc wszystkie one są potencjalnie ważne. Nieuporządkowany ciąg liczb wynikający z kwadratu cen podzielić można na cztery zestawy liczby naturalnych: kwadraty liczb naturalnych (4,9,16,25), podwajanie (2,4,80), mnożenie przez trzy (1,3,9) oraz oczywiście liczby Fibonacciego (1,2,3,5,8). Gann przykładał szczególną wagę do tzw. „reguły trzech”, zgodnie z którą, potencjalny punkt zwrotny wskazywany jest po zaobserwowaniu trzech faz hossy lub bessy zgodnych z liczbami z kwadratu cen (np. liczbami Fibonacciego). Przedstawione tutaj zasady są wierzchołkiem potężnej góry lodowej, zanim zaczniemy stosować je w praktyce warto zapoznać się z oryginalnymi pracami Ganna. Trzeba mieć przy tym na uwadze, że dla jednych (kompletna) teoria Ganna jest szarlatanerią, dla innych szczytem geniuszu.
Teoria fal Elliotta
Druga, być może bardziej znana teoria ezoteryczna giełdy, została stworzona przez księgowego Ralpha Nelsona Elliotta, w efekcie inspiracji przypływami morza i koncepcją Dowa. Tytuł jego drugiej książki „Prawo Natury – Tajemnica wszechświata” wiele mówi o holistycznych zapatrywaniach jej autora. Elliott był przekonany, że jego teoria wyjaśnia naturalne prawa rządzące wszystkimi zachowaniami ludzkimi. Podstawowe założenie Elliotta brzmi następująco: formacje wznoszące składają się z pięciu fal, opadające z trzech. Falą nazywamy tutaj przebieg od „dołka” do „szczytu” lub od „szczytu” do „dołka”. Czyli na hossę składają się trzy fale impulsu i dwie fale korygujące, natomiast bessa składa się z dwóch fal impulsu przedzielonych jedną falą korygującą. W tym punkcie teoria Elliotta pokrywa się z „prawem trzech” Ganna, który jak pamiętamy, przewidywał wystąpienie bessy po trzecim wierzchołku. W książce „Outermost House” autorstwa Henry Bestona znaleźć można fragment opisujący potrójny rytm fal uderzających o brzeg. Cytując za Johnem Murphym, autorem „Analizy technicznej”: „Trzy ogromne fale, potem mniejsze, niewyraźne ruchy a potem znowu trzy ogromne fale”. Ponoć rytm ten jest znany straży przybrzeżnej i rybakom, którzy wykorzystują go przy wypuszczaniu się łodziami w morze. Wydaje mi się, że również w filmie „Poza światem” z Tomem Hanksem mamy do czynienia z trzema dużymi falami, z których trzecia przewraca ponton naszego bohatera. Mówi się również, do trzech razy sztuka. Cóż..
Podstawowe prawo 5-3 Elliotta występuje we wszystkich skalach obserwacji – każdą falę impuls-korekta rozłożyć można według schemat 5-3, w efekcie czego otrzymujemy postrzępiony i realistyczny wykres. W dalszej kolejności zaprezentuję trzy reguły obowiązujące dla fal impulsu (str.152 Plummer): 1. Fala czwarta nie schodzi nigdy poniżej fali pierwszej 2. fala trzecia jest często najdłuższa, ale nigdy najkrótsza spośród pięciu fal 3. dwie fale impulsu są sobie równe pod względem długości. Odnośnie fal korygujących wymienić możemy następujące reguły: 1. żadna formacja A-B-C nigdy nie znosi całkowicie poprzedniej formacji pięciofalowej tego samego stopnia 2. każda korekta będzie co najmniej równa pod względem wielkości i czasu trwania wszystkim poprzedzającym ją korektom niższego rzędu 3. każda korekta wraca na ogół do zakresu cen fali korygującej niższego stopnia – konkretnie fali drugiej lub czwartej. Liczby, które do tej pory wymieniłem to 3 i 5, dające w sumie 8 fal, nieprzypadkowo przypominają początkowe wartości ciągu Fibonacciego.
Reguła 5-3 jest podstawowa dla modelu, stosuje się w wielu przypadkach, lecz istnieją również odchylenia, szczegółowo opisane przez Elliotta. Po uwzględnieniu odchyleń, teoria Elliotta jest wg. Plummera kompletna – tzn. opisuje wszystkie znane formacje cenowe. Mimo to wielu analityków sądzi, że opis zachowania giełdy proponowany przez Elliotta jest niewystarczający: autor nie tłumaczy pochodzenia „prawa natury”. Jedynym racjonalnym wyjaśnieniem jest związek schematu 3 5 8 z ciągiem Fibonacciego.
W ten sposób koło zamyka się, a podróż przez świat flory i fauny, grecki Panteon i giełdę papierów wartościowych zatacza pełny cykl. Za miesiąc kolejne spotkanie z nauką.
Piotr Lasoń
http://www.open-mind.pl/Ideas/LiczbyM1.phpInny świat z innym czasem, wszelkie formy życia na tej planecie wykorzystuje zasady świętej geometrii, złotego podziału czy ciągu Fibonacciego,w tym filmie możemy się przyjrzeć rośliną ,istotą żyjącym w innym wolniejszym strumieniu czasu.
Film dokumentalny z 1977 roku przedstawiający kontrowersyjne badania prowadzone nad roślinami.
Czy rośliny widzą i słyszą? Czy posiadają uczucia i czy potrafią je wyrażać?
Jak wykazały eksperymenty naukowe Cleve Baxtera, Marcela Vogle i wielu innych rośliny percepują świat w sposób dla nas niepojęty, a co więcej - potrafią komunikować się ze sobą i to na duże odległości. Reagują żywo na dźwięki obecne w otoczeniu, a nawet na ból i emocje innych istot znajdujących się w pobliżu.
Niektórzy naukowcy wziąwszy pod uwagę wszystkie dane, jakimi dysponuje nauka o roślinach zmuszeni byli przyznać, że rośliny są jakby "powolniejszą" odmianą zwierząt. Zwierząt, które nie potrafią uciekać...
<![CDATA[<a href="http://www.youtube.com/v/Q9bYau5kUWo&hl=pl_PL&fs=1&"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/Q9bYau5kUWo&hl=pl_PL&fs=1&" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="480" height="385"></embed></object>" target="_blank">http://www.youtube.com/v/Q9bYau5kUWo&hl=pl_PL&fs=1&"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/Q9bYau5kUWo&hl=pl_PL&fs=1&" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="480" height="385"></embed></object></a>]]><![CDATA[<a href="http://www.youtube.com/v/dxzf-MzJ3fk&hl=pl_PL&fs=1&"></param>&l]]>