1446
|
ŚWIĘTA GEOMETRIA / Artykuły, książki, filmy, LINKI / Odp: Książki o świętej geometrii
|
: Luty 07, 2009, 22:42:26
|
Music Has Its Own Geometry, Researchers FindScienceDaily (Apr. 18, 2008) — The connection between music and mathematics has fascinated scholars for centuries. More than 2000 years ago Pythagoras reportedly discovered that pleasing musical intervals could be described using simple ratios. And the so-called musica universalis or "music of the spheres" emerged in the Middle Ages as the philosophical idea that the proportions in the movements of the celestial bodies -- the sun, moon and planets -- could be viewed as a form of music, inaudible but perfectly harmonious. Now, three music professors -- Clifton Callender at Florida State University, Ian Quinn at Yale University and Dmitri Tymoczko at Princeton University -- have devised a new way of analyzing and categorizing music that takes advantage of the deep, complex mathematics they see enmeshed in its very fabric.
The figure shows how geometrical music theory represents four-note chord-types -- the collections of notes form a tetrahedron, with the colors indicating the spacing between the individual notes in a sequence. In the blue spheres, the notes are clustered, in the warmer colors, they are farther apart. The red ball at the top of the pyramid is the diminished seventh chord, a popular 19th-century chord. Near it are all the most familiar chords of Western music. (Credit: Dmitri Tymoczko, Princeton University)
Writing in the April 18 issue of Science, the trio has outlined a method called "geometrical music theory" that translates the language of musical theory into that of contemporary geometry. They take sequences of notes, like chords, rhythms and scales, and categorize them so they can be grouped into "families." They have found a way to assign mathematical structure to these families, so they can then be represented by points in complex geometrical spaces, much the way "x" and "y" coordinates, in the simpler system of high school algebra, correspond to points on a two-dimensional plane.
Different types of categorization produce different geometrical spaces, and reflect the different ways in which musicians over the centuries have understood music. This achievement, they expect, will allow researchers to analyze and understand music in much deeper and more satisfying ways.
The work represents a significant departure from other attempts to quantify music, according to Rachel Wells Hall of the Department of Mathematics and Computer Science at St. Joseph's University in Philadelphia. In an accompanying essay, she writes that their effort, "stands out both for the breadth of its musical implications and the depth of its mathematical content."
The method, according to its authors, allows them to analyze and compare many kinds of Western (and perhaps some non-Western) music. (The method focuses on Western-style music because concepts like "chord" are not universal in all styles.) It also incorporates many past schemes by music theorists to render music into mathematical form.
"The music of the spheres isn't really a metaphor -- some musical spaces really are spheres," said Tymoczko, an assistant professor of music at Princeton. "The whole point of making these geometric spaces is that, at the end of the day, it helps you understand music better. Having a powerful set of tools for conceptualizing music allows you to do all sorts of things you hadn't done before."
Like what?
"You could create new kinds of musical instruments or new kinds of toys," he said. "You could create new kinds of visualization tools -- imagine going to a classical music concert where the music was being translated visually. We could change the way we educate musicians. There are lots of practical consequences that could follow from these ideas."
"But to me," Tymoczko added, "the most satisfying aspect of this research is that we can now see that there is a logical structure linking many, many different musical concepts. To some extent, we can represent the history of music as a long process of exploring different symmetries and different geometries."
Understanding music, the authors write, is a process of discarding information. For instance, suppose a musician plays middle "C" on a piano, followed by the note "E" above that and the note "G" above that. Musicians have many different terms to describe this sequence of events, such as "an ascending C major arpeggio," "a C major chord," or "a major chord." The authors provide a unified mathematical framework for relating these different descriptions of the same musical event.
The trio describes five different ways of categorizing collections of notes that are similar, but not identical. They refer to these musical resemblances as the "OPTIC symmetries," with each letter of the word "OPTIC" representing a different way of ignoring musical information -- for instance, what octave the notes are in, their order, or how many times each note is repeated. The authors show that five symmetries can be combined with each other to produce a cornucopia of different musical concepts, some of which are familiar and some of which are novel.
In this way, the musicians are able to reduce musical works to their mathematical essence.
Once notes are translated into numbers and then translated again into the language of geometry the result is a rich menagerie of geometrical spaces, each inhabited by a different species of geometrical object. After all the mathematics is done, three-note chords end up on a triangular donut while chord types perch on the surface of a cone.
The broad effort follows upon earlier work by Tymoczko in which he developed geometric models for selected musical objects.
The method could help answer whether there are new scales and chords that exist but have yet to be discovered.
"Have Western composers already discovered the essential and most important musical objects?" Tymoczko asked. "If so, then Western music is more than just an arbitrary set of conventions. It may be that the basic objects of Western music are fantastically special, in which case it would be quite difficult to find alternatives to broadly traditional methods of musical organization."
The tools for analysis also offer the exciting possibility of investigating the differences between musical styles.
"Our methods are not so great at distinguishing Aerosmith from the Rolling Stones," Tymoczko said. "But they might allow you to visualize some of the differences between John Lennon and Paul McCartney. And they certainly help you understand more deeply how classical music relates to rock or is different from atonal music."
http://www.sciencedaily.com/releases/2008/04/080417142454.htm
|
|
|
1448
|
ŚWIĘTA GEOMETRIA / W TEORII / 4. Muzyka sfer - geometria dźwięku
|
: Luty 06, 2009, 16:16:34
|
Zapraszam do nowego i pełniejszego opracowania tematu na tworzonej przeze mnie stronie WWW: http://www.swietageometria.info/harmonia-sfer Pozdrawiam! Muzyka sfer Jesteśmy nieustannie otoczeni szmerami, tonami o różnej wysokości i natężeniu. Nasza świadomość nie rejestruje większości dźwięków. Przywykliśmy do nich. Odnosi się to do szumu wody, śpiewu ptaków, odgłosu kroków, brzęku szkła, skrzypiących zawiasów, silników samochodowych i ludzkich głosów. Wszystkie te dźwięki stanowią tło naszego codziennego życia. Jednak cisza jest również dźwiękiem, chociaż o zupełnie innej wibracji. Kosmos także wytwarza dźwięk, cały wszechświat śpiewa, lecz nasz słuch nie jest zdolny do odbioru tej triumfalnej pieśni.W pierwszej części Tajemnej Doktryny W. P. Bławacka pisze, że Pitagoras poznał ze wszystkimi szczegółami związek między muzyką i kosmosem. „Pitagoras uważał Bóstwo, Logos, za centrum jedności i źródło harmonii. [...] Z tego powodu wymagano od kandydata, który starał się o dopuszczenie do misteriów, aby już wcześniej studiował arytmetykę, astronomię, geometrię i muzykę, czyli nauki uważane za cztery fundamenty mądrości. [...] Pitagorejczycy twierdzili, że świat został stworzony z chaosu przez dźwięk i harmonię, a więc zgodnie z zasadami muzycznych proporcji. Uważali oni, że siedem planet znajduje się w harmonijnym ruchu, a odległości między nimi odpowiadają interwałom muzycznym i wytwarzają różne dźwięki o doskonałej harmonii, która jest najmilszą muzyką, niesłyszalną dla nas z powodu wzniosłości tych dźwięków i niedostosowania do nich naszych uszu."Teoria muzyki wg. Pitagorasa. Drzeworyt z Franchino Gaffurio Theorica musica, Mediolan 1492. Dla Pitagorasa muzyka była ruchem przerywanych i ciągłych dźwięków utworzonych z określonej wysokości tonów i interwałów skali. Interwały wiążą się, według niego, z duchowym rozwojem ludzkości i harmonią kosmosu. Pitagoras określił np. odległość między Księżycem a Ziemią jako cały ton. Odległość między Księżycem i Merkurym oraz Merkurym i Wenus jako półtony, a między Wenus i Słońcem jako półtora tonu, pomiędzy Słońcem a Marsem jako cały ton, pomiędzy Marsem i Jowiszem oraz Jowiszem i Saturnem jako półtony i pomiędzy Saturnem i Zodiakiem jako półtora tonu. Razem tony te tworzą oktawę jako podstawę harmonii w Uniwersum. Według starożytnych Greków bogowie i muzyka byli ściśle ze sobą powiązani. Bóg Apollo nosił lirę jako symbol swego zwycięstwa nad chaosem. Gdy Apollo gra, wszystkie stworzenia milkną i słuchają. Wszystkie konflikty kończą się i nawet bóg wojny Ares przerywa rozlew krwi. Muzyka Apolla wznosi ducha ludzkiego i sprowadza spokój duszy. Kiedy dusza doświadcza tej harmonii, rozpoznaje także cały kosmos, który oznacza porządek. Człowiek i muzyka sfer - ujęcie gnostyczne."Porfiriusz, biograf Pitagorasa, mówi, że Pitagoras zaczynał swoje lekcje od grania na lirze i śpiewania antycznych melodii. Z jednej strony, by umożliwić zapomnienie smutku przez jego uczniów, ukojenie gniewu, ugaszenie namiętności, ale z drugiej także w zamiarze uczczenia bogów swoim śpiewem." Według nauk Różokrzyża "ludzki mózg posiada siedem komór wypełnionych eterami. Każda komora ma swój własny ton dostrojony do jednego z tonów siedmiokrotnej skali. Oprócz tego każdy człowiek posiada swój szczególny ton podstawowy. (...) Harmonijne dźwięki mają bezpośrednie i pozytywne oddziaływanie na etery i pomagają człowiekowi nastroić siedem strun jego własnego systemu we właściwy sposób i przyciągnąć odpowiadające temu siły. Echo tych działań możemy odnaleźć w praktykach religijnych wszystkich narodów we wszystkich czasach. (...) Człowiek często bywał porównywany do instrumentu muzycznego, na którym chcą grać boskie harmonie. Jednakże nie jest on tego świadom. Poza tym instrument ten jest uszkodzony i z tego powodu boska harmonia nie może wytworzyć właściwego tonu." Jednak "w człowieku nadal istnieje coś z boskiego życia jako iskra, która należy do tej pierwotnej rzeczywistości. Iskra ta może zostać obudzona i rozpalona jedynie wówczas, gdy człowiek jako instrument dostraja się ponownie do boskiej harmonii. Wtedy jest on połączony z siłą Chrystusa, z podstawowym tonem niebiańskiej miłości. Jego odnowiony ogień wężowy wibruje wtedy w tym podstawowym tonie. (...) W ten sposób może narodzić się nowa świadomość, świadomość gnostyczna. Wtedy człowiek jako instrument muzyczny może ponownie współbrzmieć w pierwotnej harmonii." Monochord - muzyka sfer przedstawiona przez Roberta Fludda w encyklopedii Utriusque cosmi, historia... 1617Źródła: Kwartalnik Pentagram nr 1/5 2005. http://pl.wikipedia.org/wiki/Robert_FluddMonochordW starożytnej Grecji instrument muzyczny i jednocześnie przyrząd mierniczy służący do określania stosunków długości struny do wysokości dźwięku. Jego wynalezienie przypisuje się Pitagorasowi ok. połowy VI w. p.n.e.(jak to wszystko się ładnie łączy) Jako przyrządu (występował również pod nazwą kanon) używano go w ten sposób, że przy pomocy podstawka dzielono strunę na odcinki o różnej długości i następnie w sposób geometryczny mierzono, a potem oznaczano wysokość odpowiednich dźwięków. Badania takie przeprowadzał m.in. w IV w. p.n.e. Euklides, który ich wyniki zawarł w traktacie Katatomé kanonos (Podział monochordu). http://pl.wikipedia.org/wiki/Monochord* * * * * * * * * * * * * * * * * Z chwilą, gdy Pitagoras odkrył, że dźwięki muzyczne pozostają w ścisłej odpowiedniości z liczbami (rzeczywistymi), narodziła się teoria muzyki; Gdy Pitagoras odniósł te same proporcje między liczbami zarówno do opisu dźwięków, jak i do stosunków panujących we Wszechświecie, rozpoczęła się droga do zmatematyzowanych nauk o przyrodzie. W szkole pitagorejczyków "harmonia sfer" nie była tylko literacką czy filozoficzną przenośnią. Przekonanie, że struktura Kosmosu sprowadza się w istocie do struktury dzieła muzycznego było Wielkim Tematem myśli Greckiej.http://www.opoka.org.pl/biblioteka/F/FN/muzyka_sfer.html* * * * * „(...) Isaac Newton raz po raz mówi o sobie w scholiach jako o pitagorejczyku. Najbardziej szokujące jest scholium do Tezy VIII, nawiązujące bezpośrednio do Wielkiego Tematu muzyki sfer. Newton stwierdza, że Pitagoras odkrył w harmonijnie drgających strunach odwrotną proporcjonalność drugiego stopnia, po czym dokonał ekstrapolacji otrzymanych szeregów liczbowych, odnosząc je do mas poszczególnych planet i ich odległości od Słońca. (...) Przytaczam wspomniane scholium w całości, nie tylko dlatego, że Czytelnik miałby spore trudności z dotarciem doń (w Towarzystwie Królewskim w Londynie), lecz również dlatego, że umożliwia ono głębszy wgląd w myśl Newtona […]: ‘Starożytni nie wyjaśnili w dostatecznym stopniu, o jaką wartość zmniejsza się grawitacja, w miarę wzrastania odległości od Planet. Wydaje się jednak, że przewidzieli to w pojęciu harmonii sfer niebieskich, przedstawiając Słońce i sześć planet — Merkurego, Wenus, Ziemię, Marsa, Jowisza i Saturna — na podobieństwo Apollina z Lirą o siedmiu strunach, i mierząc odległości między sferami przy pomocy interwałów muzycznych. Głosili zatem, że istnieje szereg siedmiu dźwięków zwanych przez nich diapazonem, i że Saturn porusza się w rejestrze doryckim, czyli niskim, a reszta planet w rejestrach wyższych (jak podaje Pliniusz, ks. II, rozdz. 22, mając na myśli Pitagorasa), Słońce zaś uderza w struny. Stąd słowa Makrobiusza * (księga I, rozdz. 19): 'Apollińska Lira o siedmiu strunach pozwala zrozumieć ruchy wszystkich sfer niebieskich, nad którymi przewodnictwo natura powierzyła Słońcu'. (...)" http://www.gnosis.art.pl/e_gnosis/aurea_catena_gnosis/zawisza_czerwona_nic/zawisza_czerwona_nic04.htm*Makrobiusz, Ambrosius Macrobius Theodosius (IV/ V w.), rzymski pisarz i gramatyk pochodzenia greckiego. Autor komentarza do Snu Scypiona Cycerona i dialogu Saturnalia, dzieła encyklopedycznego w 7 księgach. Zawiera ono cenne wiadomości z literatury, filozofii, religii i obyczajowości, m.in. analizę twórczości Wergiliusza. http://213.180.130.202/13411,,,,makrobiusz,haslo.html
|
|
|
|
|
|