Kilka słów z portalu matematycznego. Bryły platońskie.
Wielościany foremne to bryły, których wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i
w których z każdego wierzchołka wychodzi tyle samo krawędzi.
Dla Platona bryły te miały zasadnicze znaczenie, uznawał bowiem, że materia zbudowana jest z całostek i nie jest podzielna, a całostki te mają charakter idealny. Nie są bowiem ciałami stałymi, lecz figurami geometrycznymi. Idealną najprostszą figurą geometryczną jest trójkąt, czyli płaszczyzna ograniczona najmniejszą liczbą linii prostych. Według Platona trójkąty są najprostszym elementem budulcowym, podstawową cegiełką, z której zbudowany jest Kosmos.
Z trójkątów równobocznych złożyć można trzy bryły idealne - tetraedr (czworościan foremny), oktaedr (ośmiościan foremny), ikosaedr (dwudziestościan foremny). Bryły te, według Platona, odpowiadają trzem elementom (ogień, powietrze, woda). Czwarty element - ziemię, reprezentuje heksaedr (sześcian), którego każda ściana da się podzielić na dwa trójkąty, jest więc też zbudowany z trójkątów. Istnieje wreszcie piąta bryła foremna - dodekaedr, zbudowana z 12 pięciokątów regularnych, którą Platon uznał za zespolenie całości, bryłę łączącą wszystkie elementy.
Te wielościany to tzw. bryły platońskie, będące wyczerpującym zestawem wielościanów foremnych. Platon uznał, że cała rzeczywistość jest zorganizowana jako odbicie owych podstawowych figur geometrycznych, czyli form najdoskonalszych. (...)
Copyright © 2008 Mariusz Śliwińskihttp://www.math.edu.pl/bryly-platonskieWięcej o wielościanach foremnych:
http://www.wiw.pl/matematyka/geometria/geometria_13_05.aspTwierdzenie EuleraWarto przypomnieć, że każda struktura w przestrzeni trójwymiarowej składa się z trzech podstawowych elementów:
wierzchołków, krawędzi i ścian. Leżą one u podstaw każdej geometrycznej analizy i przy ich pomocy można opisać dowolny wielościan. Osiemnastowieczny matematyk Leonard Euler
http://pl.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler pozostawił po sobie twierdzenie o wielościanach wypukłych opisujące zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędziami wielościanu.
Brzmi ono tak:
Liczba wierzchołków (K) plus liczba ścian (Ś) RÓWNA SIĘ liczbie krawędzi (K) plus dwa.
W + Ś = K + 2gdzie
W — liczba wierzchołków
Ś — liczba ścian
K — liczba krawędzi
http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Eulera_o_wielo%C5%9BcianachKażdy wielościan podlegać będzie temu prawu
Wszystkie bryły platońskie wraz z ich wierzchołkami, krawędziami i ścianami.
Obliczenia Buckminster Fullera
http://www.swietageometria.darmowefora.pl/index.php?topic=6.msg2376#msg2376Bryły platońskie w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.
Trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa z wprowadzonym kartezjańskim układem współrzędnych
Taka przestrzeń (tzw. przestrzeń kartezjańska), jest wygodnym modelem przestrzeni euklidesowej
- pozwala zapisywać twierdzenia geometryczne i ich dowody jako działania na liczbach.
Zwykle mówiąc o przestrzeni euklidesowej ma się na myśli właśnie ten jej model.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_euklidesowaW geometrii euklidesowej w przestrzeni trójwymiarowej istnieje tylko pięć wielościanów foremnych (tzw. brył platońskich).
Tak prezentują się w przestrzeni trójwymiarowej (ze ścianami). Czworościan
* | Sześcian | Ośmiościan | Dwunastościan | Dwudziestościan.
Tylko krawędzie i wierzchołki brył (bez ścian)
Kilkadziesiąt lat temu znaleziono na terenie Szkocji bryły wykonane z kamienia, które do złudzenia przypominają platońskie bryły. Ich wiek datuje się na co najmniej 3 tys. lat. Są więc starsze od Platona (428-348 p.n.e.) o co najmniej o 500 lat... Kamienne bryły znajdują się w
"Ashmolean Museum", w Oxford w Anglii. Oto one:
Platońskie wielościany dualne.
Wielościany foremne (platońskie) można pogrupować w dualne pary, z wyjątkiem czworościanu foremnego, który jest dualny sam ze sobą. Dualami są dla siebie sześcian i ośmiościan foremny oraz dwunastościan i dwudziestościan foremny.
Definicyjnie, wielościan foremny jest dualem dla innego wielościanu foremnego wtedy, gdy łącząc liniami prostymi środki ścian jednego wielościanu, otrzymamy wierzchołki drugiego wielościanu.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bcian_dualnySzablony pięciu brył platońskich. Gotowe do wycięcia i sklejenia. Sprawdzone. Działa - kształty wielościanów są foremne
(Kliknij na obrazek, aby go powiększyć. Następnie zapisz go na dysku - prawym przyciskiem myszy "Zapisz obrazek jako...").
Nazwy 5 wielościanów foremnych wypukłychNazwa grecka (spolszczona) - nazwa polska:
tetrahedron (tetraedr) - czworościan foremny
cube (heksaedr) - sześcian
octahedron (oktaedr) - ośmiościan
dodecahedron (dodekaedr) - dwunastościan
icosahedron (icosaedr) - dwudziestościan
* na animacji widnieje czworościan wpisany w sześcian. Tak go ukazano w Wikipedii
Źródła animacji:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Dwunasto%C5%9Bcian_foremnyhttp://www.spiraloflight.com/ls_sacred.html
Pokaż wiadomości
