Fraktale są wszędzie. Ich nieregularne kształty można znaleźć w formacjach chmur i koronach drzew, w kwiatach brokuł, pofałdowanych pasmach górskich, a nawet w ludzkim sercu. Fraktale, inaczej obiekty samopodobne, to nie tylko ładne obrazki. Od stuleci były poza granicami matematycznego zrozumienia. Dziś naukowcy zaczynają dotykać tego zdumiewającego zjawiska. Ich odkrycia pozwalają głębiej zrozumieć naturę, stymulują nowe trendy w nauce, medycynie, sztukach artystycznych, ekologii, a nawet w modzie.

http://www.youtube.com/v/skLnKkUe7_U&hl=pl_PL&fs=1&"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/skLnKkUe7_U&hl=pl_PL&fs=1&" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="640" height="385"></embed></object>

http://www.youtube.com/watch?v=skLnKkUe7_U (http://www.youtube.com/watch?v=skLnKkUe7_U)

Dla przykładu zamieszczam 2 fraktale wykonane osobiście.
(http://img153.imageshack.us/img153/2623/fraktal1.jpg) (http://img153.imageshack.us/my.php?image=fraktal1.jpg)
(http://img682.imageshack.us/img682/2788/fraktal2.jpg) (http://img682.imageshack.us/my.php?image=fraktal2.jpg)

brahman, Twój pierwszy fraktal przypomina mi odbiór mnie samej podczas medytacji, gdzie doświadczyłam bardzo ciekawego połączenia ze swoimi "wewnętrznymi" czakrami - od 1 do 7 -z "zewnętrznymi" czakrami od 8 wzwyż. Próbowałam osiągnąć takie liniowe połączenie i zdaję się, że osiągnęłam, bo energia, która się wyzwoliła w tym momencie, była czymś niezwykłym. Wtedy zobaczyłam siebie właśnie jako taką kulę z kanałem łączącym oba jej bieguny. Nawet kolory temu towarzyszące były podobne, tylko intensywniejsze. Tak, czy owak, piękne są Twoje prace. Pozdrawiam :)

tijavar,
to była kula czy bardziej jajo?

No bo chyba nie merkaba?

Jedna osoba pisała tu :)
"Osobiscie podrozuje niefizycznie pod postacia KULI i to daje mi poczucie najwiekszej wolnosci..
a polaczenie ze ZRODLEM i poczucie JEDNOSCI mozna takze osiagnac na wiele bardzo prostych sposobow, czasami po prostu patrzac na Slonce, albo sluchajac jak pada deszcz.."
http://www.swietageometria.darmowefora.pl/index.php?topic=344.msg1083#msg1083
+
podróż: http://www.swietageometria.darmowefora.pl/index.php?topic=344.msg1085#msg1085

EDIT:
(http://img687.imageshack.us/img687/4967/20100111172208.jpg) (http://img687.imageshack.us/my.php?image=20100111172208.jpg)

To dziwne jako dziecko miałem bardzo często powtarzający sie sen, mianowicie przestrzeń wypełniona kulami przeskakiwałem z jednej kuli na kolejną próbując się do którejś dostać lub zajrzeć ,tylko nie pamiętam po co ale było to z jakiegoś powodu bardzo ważne.

Kula, to kula i nie merkaba  ;) Kula to coś idealnego i rzeczywiście najłatwiej się w niej "zorganizować". Kiedyś przybrałam kształt Merkaby, i to wcale nie było zamierzone, po prostu, podczas medytacji pojawił mi się obraz mojej energii ukształtowanej w ten sposób. Z tego, co się orientuję to kształty zależą od "poziomu rozwoju duchowego" i "stanu energetycznego" naszych istot, ale równie dobrze może to być bzdura. Gdzieś nawet czytałam o kształtach krzyża...Merkaba jest określana jako najwyższa forma, koło to bodajże podstawa, ale niczego nie dam sobie za te informacje odciąć. A JAHWE to już w ogóle do tego bym nie mieszała  ;)

Co do moich odczuć, kula to pełnia, nigdy nie narzucam sobie form w jakich chcę performować, mam wrażenie, że to energia sama ją sobie wybiera. Filmik, do którego dałeś odnośnik jest porywający, a to drzewo to nieodłączne skojarzenie z Axis Mundi  :) i powiem, że ten kanał, o którym wspominałam wcześniej, odbieram jako Axis właśnie, jej korzenie i korona łączą bieguny. Podkreśliłabym tu jeszcze siłę energii, która wówczas wyzwolona dosłownie porywa Cię w przestrzeń i już nie wiesz, czy jesteś jednostką indywidualną czy galaktyczną, to jest coś, czego powinno się doświadczyć by móc odczuć siłę swojego ducha, moc energii, coś cudownego...

Mówię Wam, polegajcie na własnym wewnętrznym rytmie, a osiągnięcie ten stan ducha, który porwie was jak listek i uniesie do nieba. Nie trzeba sobie narzucać kształtów, nadawać symboli, aby go osiągnąć, po prostu: bicie serca, wiara, odrobina spokoju, natury, piękna i lecicie! :) Kochajcie Światło, które w Was płonie  :)

Witam....
Przedstawiam ładny fraktal powstały przy użyciu liczby 0,618
(http://img511.imageshack.us/img511/2623/fraktal1.jpg) (http://img511.imageshack.us/my.php?image=fraktal1.jpg)

brahman w jaki sposób wykonujesz prace? Na czym pracujesz? Bardzo mi się to podoba , miękkość i prowadzenie linii, kolor, głębia, czym się inspirujesz?

ad dodatku od Leszka, znam to zestawienie i się z nim identyfikuję  :)

http://www.youtube.com/v/c64Aia4XE1Y&hl=en_GB&fs=1&

Prace moje wykonuję w programie Apophysis. Kieruję się w nich intuicją. Właściwie to praca moja jest zabawą a efekt końcowy zapisuję wtedy gdy podoba mi się. Program ten pozwala na nieskończoną liczbę kombinacji i tworzenie fraktali jest graficzne...czyli zmieniać można wszystko w sposób graficzny.
Pozdrawiam...

Dziękuję za nazwę programu, już znalazłam stronkę i zaraz go ściągnę, zobaczymy co wyjdzie mi z tej współpracy  ;D kiedyś bawiłam się grafiką , ale w tę stronę jeszcze się nie zapędziłam, pozdrawiam  ;)

Witam!
Przedstawiam jeden z ciekawszych fraktali

(http://img687.imageshack.us/img687/1741/fraktal2h.jpg) (http://img687.imageshack.us/my.php?image=fraktal2h.jpg)

Bardzo ładne te fraktale. Ten akurat jest bardzo podobny kształtem do galaktyki.

(http://img532.imageshack.us/img532/4164/ngc12321.jpg)

Dlatego fajnie byłoby Brahman, jakbyś dodawał do obrazków liczby, które leżą u podstaw kształtu - dla celów dydaktycznych i dla osób, które zechcą użyć tego programu będzie też łatwiej.
@Brahman - jak chcesz oczywiście.

Pozdrawiam!

P.S
Pomijam tu kwestię tego jak wygląda jedyny możliwy trójwymiarowy fraktal wg. Nassima vs Wintera.

Witam!
Przedstawiam fraktal powstały przy użyciu liczb 0,618 i 1,618

(http://img191.imageshack.us/img191/7569/fraktal3x.jpg) (http://img191.imageshack.us/my.php?image=fraktal3x.jpg)

Ciekawe ,zwłaszcza teraz jak wszyscy wyrywają sobie "kartki z kalendarza"...

http://korotkov.tv/?p=71

__________ این نیز بگزرد ____________ (http://www.humormatters.com/holidays/Christmas/Images/snowman%20funeral.jpg)

trochę starego dobrego  fraktalnego relaksu i jak zwykle muzyczka ;-)

http://www.flurrious.com/


http://www.youtube.com/watch?v=e1xIaAYNc1k

Witam!

Przedstawiam nowy fraktal powstały z liczby 0,618. Może komuś sprawi trochę przyjemności popatrzenie na niego.
(http://img18.imageshack.us/img18/8097/fraktal4.jpg) (http://img18.imageshack.us/my.php?image=fraktal4.jpg)

Fraktalna rzeczywistość

Poznanie geometryczne dotyczy tego, co wieczne - stwierdził Platon ponad dwa tysiące lat temu. Świadomość tego towarzyszyła człowiekowi od zarania dziejów. Najpierw przez wieki próbowano określić geometryczny kształt Ziemi, potem kształt orbit ciał niebieskich, by w czasach nowożytnych - dzięki geniuszowi Einsteina - opisać kształt czasoprzestrzeni.
Wszystkie te wielkie akty poznania mogły nastąpić w wyniku rozwoju geometrii, która wyznaczała drogi opisu świata rzeczywistego, złożonego z nieogarniętej liczby obiektów o przeróżnych kształtach i formach przestrzennych. Jednak ani klasyczna geometria Euklidesa, ani geometria eliptyczna i hiperboliczna nie wystarczały do opisu całej złożoności Natury. Przede wszystkim dlatego, iż geometrie te badały własności figur wyidealizowanych, doskonałych w swym kształcie okręgów, elips, trójkątów, kul itp., w kontekście odwzorowań izometrycznych. Dopiero nowa geometria rozwijająca się od końca ubiegłego stulecia - topologia - stworzyła podstawy do rozważań nad holistycznymi własnościami obiektów, nad homomorfizmami (tj. bijekcjami w obie strony ciągłymi). Przedmiotem jej badań jest między innymi kształt i położenie, rozpatrywane w sensie własności figur, które zachowują się nawet wówczas, gdy zdeformowane figury tracą wszelkie własności metryczne i rzutowe. Stąd topologia rozumiana jest również jako geometria jakościowa, z której wywodzi się wszelkie inne poznanie geometryczne.
W ostatnich latach zanotowano niezwykłe osiągnięcia w dziedzinie topologii związane z tzw. geometrią fraktalną. Fraktale - niedawno odkryte figury geometryczne - otwierają nowe, nieosiągalne dotąd możliwości w zakresie badania struktury świata rzeczywistego, a także jego dynamiki. W dziedzinie modelowania złożoności Natury pojawił się więc nowy język geometrii eksperymentalnej. To nowe podejście zostało zapoczątkowane pod koniec lat siedemdziesiątych pracami matematyka Benoit'a Mandelbrota, a następnie zostało podjęte przez wielu badaczy.
"Chmury nie są kulami, góry stożkami, linie brzegowe kołami, kora nie jest płaska, ani też błyskawica nie porusza się po linii prostej" - napisał w The Fractal Geometry of Nature Mandelbrot (1982: 1). Wnikając głębiej w ten problem, dla uchwycenia nieregularności obiektów spotykanych w rzeczywistości, Mandelbrot odkrył nowe formy geometryczne, które od łacińskiego słowa fractus ("złamany") nazwał fraktalami. Wstępnie można stwierdzić, iż fraktale są obiektami geometrycznymi o łamanym lub nieregularnym kształcie, które wykazują samopodobną strukturę podczas zmierzającego do nieskończoności procesu redukcji ich rozmiarów.
Fraktale cechują następujące własności geometryczne i algebraiczne:
(1) nie posiadają unikalnej, charakterystycznej dla nich skali długości, gdyż powiększone lub pomniejszone nie zmieniają swych kształtów,
(2) są samopodobne na każdym poziomie obserwacji (pomiaru) w tym sensie, że po wycięciu z nich dowolnej małej części i jej powiększeniu powstanie obiekt wiernie naśladujący całość,
(3) przedstawione w sposób analityczny, opisywane są zależnościami rekurencyjnymi, a nie wzorami matematycznymi.
Tradycyjne figury geometryczne takie jak koła, trójkąty czy kwadraty, nie spełniają tych własności. Wycięty fragment kwadratu nie przypomina całego kwadratu. Jednocześnie jednak niektóre z tych figur, np. koło, poddają się procedurze renormalizacji opartej na pojęciu samopodobieństwa, czyli tendencji do wielopoziomowego powtarzania identycznych struktur geometrycznych. W czystej matematyce takie obiekty zostały zdefiniowane znacznie wcześniej (oczywiście nie nazywano ich fraktalami), były one traktowane jako swego rodzaju przypadki szczególne, "monstra", które w pewnym sensie potwierdzały ograniczoną zdolność poznania klasycznej geometrii. W dzisiejszej terminologii nazywane są one fraktalami deterministycznymi. Natomiast fraktale spotykane w rzeczywistości (nie sztuczne) określa się
jako losowe.
Mandelbrot (1982) stwierdził, że własnościami analogicznymi do fraktali deterministycznych cechują się obiekty spotykane w rzeczywistości. Znanym przykładem potwierdzającym jego tezę jest tzw. eksperyment W.F. Richardsona (1881-1953), który analizował długość wybrzeży Wielkiej Brytanii, Portugalii, Niemiec oraz Południowej Afryki. Richardson zauważył, że wyniki pomiaru długości linii wybrzeża zależą w dużym stopniu od skali mapy oraz odcinka pomiarowego. Im jednostka miary krótsza, tym linia wybrzeża dłuższa.
Eksperyment Richardsona potwierdził rzecz mało oczekiwaną: długość linii wybrzeża, podobnie jak krzywa von Kocha, zmierza do nieskończoności, jeśli długość odcinka miary zmierza w kierunku wartości infinitezymalnych (tj. nieskończenie małych), a prawdziwą długością wybrzeża jest nieskończoność, niezależnie od rozmiarów samego wybrzeża.
Czy jednak linia wybrzeża ma strukturę samopodobną, tzn. czy powiększenie fragmentu linii wybrzeża daje podobne efekty, jak powiększenie fragmentu linii von Kocha? Okazuje się, że w przybliżeniu zarówno fraktal matematyczny jak i fraktal naturalny mają we wszystkich skalach3 taką samą strukturę.
Ponieważ fraktale obrazują złożoność tak struktur matematycznych jak i świata rzeczywistego, powstaje pytanie, jak mierzyć stopień skomplikowania ich kształtu? Wiadomo, że długość linii brzegowych fraktali dąży do nieskończoności, przeto długość linii brzegowych nie jest dobrą miarą złożoności kształtu tych obiektów. Lepszą miarę zaproponował Mandelbrot w postaci pojęcia "wymiaru fraktalnego", który określa stopień meandrowania krzywej i jest w pewnym sensie miarą wypełnienia przestrzeni, w której ta krzywa jest zanurzona. W matematyce o takiej krzywej mówi się, że "czuje" przestrzeń (por. Schroeder 1991: 10). Pojęcie wymiaru fraktalnego prowadzi do zaskakujących spostrzeżeń i narusza powszechnie utrwalone w świadomości ludzkiej wyobrażenia o wymiarowaniu obiektów liniowych, powierzchniowych i objętościowych.
Mimo iż wydaje się zupełnie oczywiste, że punkt ma wymiar 0, linia wymiar 1, płaszczyzna wymiar 2, a przestrzeń jest trójwymiarowa, to jednak pojęcie wymiaru w matematyce ma długą i niezupełnie jeszcze zakończoną historię.
Na potrzebę głębszej analizy i bardziej precyzyjnego definiowania pojęcia wymiaru pierwszy zwrócił uwagę Poincaré w 1912 r. Stwierdził, że "prosta jest jednowymiarowa, ponieważ można rozdzielić dowolne dwa punkty na niej przecinając ją w jednym punkcie (który ma wymiar 0), natomiast płaszczyzna jest dwuwymiarowa, ponieważ dla rozdzielenia dowolnych dwóch punktów na płaszczyźnie musimy wyciąć całą krzywą zamkniętą (mającą wymiar 1). Nasuwa to myśl indukcyjnej natury wymiarowości: dana przestrzeń jest n-wymiarowa, jeżeli można rozdzielić dwa dowolne jej punkty usuwając podzbiór (n-1)-wymiarowy, i jeżeli podzbiór mniejszego wymiaru nie zawsze do tego wystarcza" (Courant, Robbins 1961: 323).
Powyższe stwierdzenia wykazują, że towarzyszące człowiekowi odczucie natury wymiarowości nawiązuje właśnie do topologicznego wymiaru obiektów, tak matematycznych jak i naturalnych.
Niektórzy matematycy, a wśród nich F. Hausdorff (1886-1942), L.E.J. Brouwer (1882-1966), A.S. Besicovich (1891-1970) i A.N. Kołmogorow (1903-1987), definiowali wymiar w inny sposób. Przy czym ich definicje charakteryzują tylko własności geometryczne obiektów, a naturę wymiarowości niekoniecznie opisują liczbami całkowitymi. Wymiar wyrażony liczbą
niecałkowitą - wydaje się to niemożliwe, ale taka właśnie sytuacja zachodzi w przypadku obiektów fraktalnych.
Wreszcie znane są takie obiekty fraktalne, których wymiar nie został dotąd określony, jak np. niektóre zbiory G. Julii (1893-1978). Natomiast wymiar Hausdorffa brzegu najsłynniejszego fraktala - zbioru Mandelbrota, którego fantazyjne kształty uchodzą za jedne z najbardziej skomplikowanych jakie wymyślono w matematyce (por. Peitgen, Richter 1986) - został określony dopiero w 1991 r. przez Shishikurę (1991) i wynosi 2,0. Urzekające piękno długo ukrywało tajemnicę swego wymiaru.


http://www.youtube.com/v/zSvgIyecoHE&hl=pl_PL&fs=1&"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/zSvgIyecoHE&hl=pl_PL&fs=1&" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="480" height="385"></embed></object>
Fragmenty zbioru Mandelbrota.
Film przedstawia dobrze znaną dekompozycję zbioru Mandelbrota. Przy kolejnych powiększeniach jego fragmentów pojawiają się coraz to nowe kompozycje kształtów. Uderzające jest również to, iż wewnątrz ukryte są identyczne struktury - coraz mniejsze zbiory Mandelbrota. Jego odkrywca - Mandelbrot - w pracy Peitgen i in. (1995: 471) wypowiedział się o tym zbiorze następująco: "Pod postacią zbioru Mandelbrota przyroda (a może matematyka?) daje nam wizualny odpowiednik tego, co w muzyce można by nazwać "tematem przewodnim i
jego wariacjami": wszędzie powtarzają się te same kształty, ale za każdym razem powtórzenie jest trochę inne. [...] zbiór ten stale oferuje nam nowości, nie jest on tak naprawdę fraktalem w myśl większości definicji: moglibyśmy nazwać go fraktalem brzegowym, granicznym fraktalem zawierającym wiele fraktali. W porównaniu z prawdziwymi fraktalami jego struktury są znacznie liczniejsze, jego harmonie bogatsze, a jego nieoczekiwaność jest bardziej nieoczekiwana" (Paitgen i in. 1995: 471).
Na ogół jednak nie ma problemów z określeniem wymiarów fraktali matematycznych. Natomiast rozróżnienie pomiędzy ich wymiarem topologicznym oraz wymiarem fraktalnym posłużyło do sformułowania następującej definicji fraktala: fraktal to figura, której wymiar fraktalny jest różny od topologicznego (por. Ciesielski, Pogoda 1995: 184). Powyższa definicja wraz z podanymi wcześniej własnościami fraktali pozwala na ścisły opis tych obiektów.

http://www.youtube.com/v/uas_HJNAzfw&hl=pl_PL&fs=1&"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/uas_HJNAzfw&hl=pl_PL&fs=1&" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="480" height="385"></embed></object>

http://www.zep.amu.edu.pl/pl/wp-content/Fraktale.pdf

Aby wyjść poza standard wszczepiony wyobraźni, porzucić przyswojoną raz na zawsze wizualizację, należy odwołać się do... nieskończoności. Brzmi groźnie, lecz jest proste: wystarczy, w nieskończoność, poszukiwać ukrytych dla oka analogii oraz, w nieskończoność, śledzić rozwijające się wątki, czyli nowe, coraz szersze konteksty, korzystając konsekwentnie z relacji zwrotnej pomiędzy nimi. I, jeśli w ten sposób spojrzeć na to samo drzewo, okaże się, że na jego temat napisać można powieść, co więcej – w miejsce drzewa podstawić da się właściwie dowolny obiekt, a sens powieści nie ulegnie zmianie.
Świat, który oglądamy na co dzień, świat, który wydaje się znany, może, bardzo łatwo, stać się zupełnie nie znanym terenem fascynujących odkryć. Wystarczy tylko odpowiednio zmienić (wzbogacić? rozszerzyć?) sposób jego postrzegania.
Nie wiemy, że efekty postrzegania są zawsze względne i zależą w znacznej mierze od układu odniesienia oraz pozycji obserwatora wobec tego układu. Że „pokawałkowane postrzeganie” generuje tylko niespójne mozaiki, zamiast kompletnego filmu. Że świat kreujemy poprzez interpretację. I jeśli  kreujemy go, interpretując całość poprzez pojedyncze, wyrwane z kontekstu fragmenty, to co warta jest nasza interpretacja?  Tak postrzegany świat wydaje się pozbawiony logiki, rządzony przez przypadek, nieprzewidywalny. Nie może być inaczej, bo brak nam klucza do jego rozumienia.

E = mc2. Wiadomo, kto to wymyślił i co znaczą symbole. Wyobraźnia podsuwa obraz Einsteina, może nawet ten z plakatów, z wysuniętym językiem. Jakieś skojarzenie ze szkołą, miłe lub nie. I na tym wizja się kończy. Czy coś nam to daje, czy wpływa na sposób analizowania zdarzeń, zmienia nasze rozumienie świata? Czy może mieć związek z czymś tak pozornie odległym, jak cykl rozwojowy roślin? Albo z erozją w dolinach rzecznych? A może ma, lecz o tym nie wiemy? A jeśli ma, to jak wpływa na powstający „w nas” obraz świata?
http://ciekawnik.pl/swiat-wokol-nas/315-fraktalny-swiat-czyli-filozofia-natury

Tutaj znajdziecie ciekawe fraktale jaki programy do ich tworzenia.
http://www.eugeniuszm.scholaris.pl/

Linie rytmiczne Szpakowskiego

Małgorzata Mikołajczyk
W latach 1900-1954, czyli przez niemal całe swoje dorosłe życie, Szpakowski opracowywał serie rysunków, które nazwał "liniami rytmicznymi". W 1954 roku zajął się "liniami łamanymi", które wyprzedziły odkrycie fraktali we współczesnej matematyce (pojęcie to wprowadził w latach siedemdziesiątych XX wieku Benoit Mandelbrot, francuski informatyk i matematyk polskiego pochodzenia).

Linie rytmiczne są efektem eksperymentów Szpakowskiego z prostą, jej ciągłością i nieskończonością. To odręczne szkice w ołówku lub tuszu na siatce punktów kratowych. Przedstawiają figury jednobieżne (początek linii znajduje się zazwyczaj w lewym, a koniec w prawym rogu rysunku). Zamierzeniem autora było uzyskanie wizualnej harmonii, rytmu i bogactwa kształtów jedynie za pomocą najprostszej geometrycznej formy, jaką jest linia prosta. Kompozycje Szpakowskiego ewoluują od bardzo prostych do niezwykle skomplikowanych, przypominających labirynty i wzory meandryczne.

Czy patrząc na rysunki stworzone z meandrów jednej linii, potraficie odczytać i opisać zasadę, według której powstały?  Ciekawym zadaniem jest też napisanie programu (np. w Logo) generującego takie kształty.
(http://www.matematyka.wroc.pl/system/files/u12/mur_szpakowski02.jpg)
(http://www.matematyka.wroc.pl/system/files/u12/mur_szpakowski03.jpg)
(http://www.matematyka.wroc.pl/system/files/u12/mur_szpakowski04.jpg)
Natomiast fraktale Szpakowskiego stanowiły geometryczny zapis kształtu fal, drgań, chmur, dymu, łanów zbóż, pni i liści drzew itp. W złożonym świecie przyrody, sztuki i nauki artysta dostrzegał linearne, geometryczne, rytmicznie powtarzalne prawidłowości i struktury. Holenderski pisarz W. F. Hermans pisał, że w dziełach Szpakowskiego odkrył pierwotną pasję badaczy nieskończoności, eksploratorów budowy świata.
Choć Szpakowski od 1945 roku aż do śmierci w 1973 roku żył i tworzył we Wrocławiu, jest postacią bardziej znaną i docenianą poza granicami Polski niż w ojczyźnie (jeden z belgijskich krytyków i teoretyków sztuki nazwał go "geniuszem z Polski"), a we Wrocławiu nie ma nawet ulicy jego imienia.
http://www.matematyka.wroc.pl/matematykawsztuce/linie-rytmiczne-szpakowskiego
http://www.youtube.com/v/NEz9HFDMeGM&hl=pl_PL&fs=1&"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/NEz9HFDMeGM&hl=pl_PL&fs=1&" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="480" height="385"></embed></object>

Witam 1

To co poniżej przedstawiam to też jest fraktalem. Pozdrawiam

(http://img69.imageshack.us/img69/3716/fraktal5.jpg) (http://img69.imageshack.us/my.php?image=fraktal5.jpg)

 W jaki sposób definiujesz fraktal ?
Moje pojęcie w tym temacie jest takie, że : jeżeli mamy przynajmniej dwie formy geometryczne i ze stosunku ich geometrii wynika ''złoty podział'' to mamy najprostrzy fraktal.
Nie wiem, czy można powiedzieć np. że mamy do czynienia z konstrukcją fraktalną, jeżeli nie ma ciągłości (wzajemnej współzależności) ?
Odnośnie tej współzależności  mam tu na uwadze to, że np : jeżeli podzielimy dowolny odcinek w/g ''złotego podziału'' to otrzymamy fraktal.
Ale, ..... jeżeli odzielimy ich od siebie i ustawimy w jakimś dowolnym  położeniu, to nie jest już fraktal, pomimo, że oba odcinki mogą posiadać wzajemne długości zgodne ze ''zlotym podziałem''.
W przypadku tej Twojej konstrukcji mamy dwie formy geometryczne położone obok siebie.
W jaki sposób wyliczyłeś, że ich wzajemna geometria jest fraktalem, czyli jest podzielona zgodnie z  F- 0, 618...   , czyli jest energetycznie synchroniczna ?

Takie pytanie przy okazji. Czy np.jabłko (jako całość) jest fraktalem ?
Bo człowiek jest. Jest z tego względu, że : posiada tzw. zerowy energetyczny  punkt charmonicznych znajdujący się nieco powyżej pępka..Czyli... cała energetyczna konstrukcja ( człowiek)  jest podzielona w/g złotego podziału.

http://www.youtube.com/v/hkzqkGJjkfM&hl=pl_PL&fs=1&"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/hkzqkGJjkfM&hl=pl_PL&fs=1&" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="480" height="385"></embed></object>

Odkrycie kosmicznych fraktali

Pierwszym uczonym, który już w pierwszych latach XIX wieku zasugerował, że możliwy jest taki rozkład gwiazd, który wyjaśniałby zagadkę „ciemności nocnego nieba” był William Herschel. Pisał on: „...łatwo wyobrazić sobie strukturę Wszechświata dosłownie nieskończoną, która umożliwiałaby dowolną ilość kierunków, w których nie natrafilibyśmy na gwiazdę. Tak byłoby, gdyby składał się on z układów podzielonych zgodnie z prawem, że każda struktura wyższego rzędu jest znacznie bardziej odległa od środka struktury niższego rzędu...”.
Ponad sto lat później, starając się znaleźć odpowiedź na paradoks Olbersa i na Paradoks Grawitacyjny, wykładowca fizyki w Birmingham, Edmund Fournier D'Albe zaproponował model kosmosu, w którym gwiazdy rozmieszczone są w sposób hierarchiczny. Przykładowy model tego typu przedstawia poniższy rysunek:

(http://2.bp.blogspot.com/_kJlBYLv_P6E/R6TMoXK-LOI/AAAAAAAAAAc/k6gW3O4RO90/s1600-h/model_Fourniera.bmp)

Pięć gwiazd (w trójwymiarowej przestrzeni siedem gwiazd), skupionych jest w pewnym obszarze, tworząc gromadę. Pięć takich gromad tworzy gromadę wyższego rzędu – odległości między gromadami wyższego rzędu są większe od rozmiarów gromad rzędu niższego. Gromady rzędu wyższego, tworzą w analogiczny sposób gromady jeszcze wyższego rzędu i tak dalej, aż do nieskończoności.
Idee Fourniera D'Albe rozwinął szwedzki uczony Carl Charlier. To on właśnie wyprowadził zależność, o której pisałem w poprzednim poscie – by rozwiązać ciemności nocnego nieba oraz paradoks grawitacyjny hierarchia musi spełniać nierówność Ri+1/Ri>=pierwiastek(N i+1). Oczywiście taka hierarchia, by spełniać swoje zadanie przy rozwiązywaniu paradoksów, rozciągać się musi aż do nieskończoności.
W roku 1922 austriacki uczony Franz Selety, pokazał, że hierarchia zaproponowana przez Charliera wcale nie wymaga istnienia środka – środków może być nieskończenie wiele. Przedstawił on następujące postulaty kosmologiczne, które jak pokazał, wcale nie muszą być ze sobą sprzeczne:
* nieskończona przestrzeń
* nieskończona łączna masa
* masa wypełniająca przestrzeń w taki sposób, że wszędzie ma skończoną gęstość
* uśredniona gęstość masy we Wszechświecie jest zerowa
* brak centralnego punktu lub obszaru we Wszechświecie

(Selety nosił wcześniej nazwisko Jeiteles i kto wie czy to nie on właśnie opisany został w jednym z opowiadań Franza Kafki jako mędrzec rozprawiający w praskich synagogach o dziwach Wszechświata.)

Oczywiście wszyscy ci uczeni zdawali sobie sprawę, że hierarchia kosmiczna nie będzie tworzyła regularnych geometrycznych wzorów i rozkład ciał niebieskich jest w znacznym stopniu przypadkowy, ale nie ma to większego znaczenia dla opisywanych praw. W czasach, gdy tworzyli oni swoje teorie obserwacje Wszechświata były jeszcze bardzo słabo rozwinięte, nic więc nie mogło tych hipotez potwierdzić.
Fakt, że gwiazdy grupują się w galaktykach, a Mleczna droga jest po prostu jedną z wielu takich galaktyk odkryty został dopiero w połowie lat dwudziestych. W latach trzydziestych zauważono, że galaktyki mają tendencje do skupiania się w gromady. Amerykański astronom Edwin Carpenter dokonał zastanawiającego odkrycia, że ilość gwiazd w gromadzie nie wzrasta wraz z trzecią potęgą rozmiarów gromad (czego należałoby oczekiwać), ale rośnie wolniej i wykładnik potęgi wynosi 1,5. Pod koniec lat sześćdziesiątych zaobserwowaną przez Carpentera prawidłowość badać zaczął Francuz Gérard Henri de Vaucouleurs. Potwierdził on obserwacje Carpentera, oraz zauważył dość dziwną prawidłowość, że wszyscy obserwatorzy, umieszczeni w dowolnym miejscu we wnętrzu hierarchii stwierdzą, że zwiększając zasięg obserwacji, średnia gęstość materii maleje. Prace de Vaucouleursa zostały źle przyjęte w środowisku kosmologów i on sam przestał na te tematy pisywać.
Przełom nastąpił, gdy w 1977 roku Benoit Mandelbrot przewidział, że galaktyki we Wszechświecie rozmieszczone są w sposób fraktalny i podał pierwszy matematyczny opis ich rozkładu. Zaproponował on dojrzały matematyczny model rozkładu materii, gdzie „nie ma środka, a jest hierarchia”.
Oczywiście kosmologiczne fraktale, są to fraktale rzeczywiste, które różnią się od ich matematycznych ideałów w analogiczny sposób, co kształt ziemskiego globu różni się od matematycznej kuli. Do tego są to fraktale stochastyczne, a więc takie, przy których tworzeniu decydującą rolę odgrywają procesy chaotyczne. Matematycznym przykładem fraktala stochastycznego może być zbiór Cantora, w którego konstrukcji losowo wybieraliśmy odrzucany odcinek. W kosmologii czynnikiem powodującym „przypadkowość” rozmieszczenia materii są niemożliwe do przewidzenia czynniki związane z ruchem i oddziaływaniami poszczególnych elementów.
Z pojęciem fraktali łączy się ważne pojęcie wymiaru fraktalnego. W kosmologii pojęcie to można traktować jako miarę zależności ilości galaktyk od odległości. Dla modelu Charliera wymiar fraktalny wynosi dwa, co oznacza, że ilość materii wzrasta z kwadratem, a nie z trzecią potęgą rozmiarów. Najbardziej nieoczekiwanym odkryciem, którego na początku lat osiemdziesiątych dokonała grupa włoskich astrofizyków pod kierownictwem Luciano Pietronero, było to, że (w skali do pięciu megaparseków) obserwowany rozkład galaktyk wykazywał strukturę fraktalną, o wymiarze niemal dokładnie równym 2. Obrońcy jednorodności rozkładu galaktyk nie poddali się i model fraktalny został gwałtownie zaatakowany. W 1996 roku doszło do słynnego zakładu między Pietronero, a broniącym jednorodności Davisem, o to czy skala fraktalności przekroczy 15 megaparseków (lokalna gromada galaktyk ma średnicę około jednego megaparseka). Fakt że konserwatywni kosmologowie nie chcieli się zgodzić na model fraktalny nie powinien nas dziwić. Przy fraktalnym rozkładzie materii Big-Bang przestanie już być potrzebny przy wyjaśnianiu paradoksów Olbersa i grawitacyjnego. Co ważniejsze jednak jednorodność jest podstawowym założeniem tłumaczącym ekspansję Wszechświata (dla kosmosu fraktalnego nie można by zastosować modeli Fridmana przewidujących jednorodną ekspansję Wszechświata), do tego gigantyczne fraktalne struktury wymagałyby do swego uformowania czasu znacznie większego niż przewidywany przez BB wiek Wszechświata. Fraktalność (wprawdzie dopiero przy istnieniu ogromnych ilości ciemnej materii skupionej w sposób analogiczny co materia świecąca) może również wytłumaczyć redshift jako efekt przesunięcia grawitacyjnego. Wracając do wspomnianego wyżej zakładu między dwoma uczonymi, najnowsze obserwacje wyłoniły już zwycięzcę - fraktalność potwierdzona została najpierw w skali 50 megaparseków, potem w skali 100 megaparseków, a obecnie, w sposób niemal całkowicie pewny w skali 500 megaparseków, zaś w sposób bardzo prawdopodobny w skali gigaparseka.

Jednorodność była intuicyjnym założeniem, które opanowało ludzkie umysły i spod którego władania uwolnić się było niesłychanie trudno. Podobnie było kiedyś z pojęciem środka Wszechświata. Wydawało się, że Wszechświat musi mieć środek i nawet tak wybitny umysł, jak Kopernik, zdołał ów środek zaledwie przesunąć z Ziemi ku Słońcu. Wieleset lat później, wierzono, że środek istnieje i znajduje się w sercu Drogi Mlecznej. Kolejne przesuwanie tego „środka Wszechświata”, ku coraz to dalszym obszarom, doprowadziło wreszcie uczonych do koncepcji, że środek w ogóle nie istnieje. Podobnie może być z koncepcją kosmologicznej jednorodności. Gdy fraktalność potwierdza się na coraz to większych skalach, dla nowych pokoleń uczonych może się stać czymś naturalnym, że granica, od której "zaczyna się już jednorodność" po prostu nie istnieje.
Warto tu przypomnieć słynne powiedzenie Maxa Plancka, że: "Nowe naukowe prawdy nie triumfują dzięki przekonaniu ich oponentów i ukazaniu im światła prawdy, lecz raczej dlatego, że ich oponenci umierają, a kolejne pokolenie łatwiej przyjmie to co nowe lecz już ‘oswojone’."
http://kaskaderzy-kosmologii.blogspot.com/2008/02/odkrycie-kosmicznych-fraktali.html

Na tropie fraktalnego Wszechświata


Książka, o której piszę teraz, należy do kategorii określanej przeze mnie:

PRZEOCZONE,ZAPOMNIANE CHOCIAŻ CENNE i PIĘKNE

 

Fin - P.Teerikorpi oraz Rosjanin J.Baryszew napisali piękną pracę z pogranicza astronomii i historii astronomii zatytułowaną:

Wszechświat ,poznawanie kosmicznego ładu

Wydali ją Jezuici, w swym krakowskim Wydawnictwie Apostolstwa Modlitwy za radą Prof.Konrada Rudnickiego, który współpracował w badaniach z autorami w dziedzinie kosmologii obserwacyjnej.

Tekst jest właściwie raportem z badań nie tylko nad strukturą wszechświata, ale także z badań nad historią astronomii.

Rdzeniem tej książki, jest nowa interpretacja skupisk materii gwiezdnej, wykorzystująca teorię matematycznych obiektów zwanych fraktalami (termin wprowadzony do matematyki w 1975 roku przez Benoita Mandelbrota).

Fraktal, to obiekt matematyczny ,którego części mają struktury podobne do struktury całości. Jest on obiektem nie podlegającym opisowi analitycznemu.

Początek istnienia takich obiektów, to odkrycie przez Karla Weierstrassa funkcji ciągłych nieróżniczkowalnych (wykres takiej funkcji jest krzywą ciągłą ,która w żadnym punkcie nie posiada pochodnej).

Zbiór Cantora, dywanik Sierpińskiego, gąbka Mengera, fraktal Mandelbrota, to klasyczne przykłady fraktali.

Charakterystyczne właściwości fraktali to : samopodobieństwo, nieanalityczność, hierarchia, iteracja, wymiar.

Fraktale, umożliwiają zrozumienie nieregularności w przyrodzie, chropowatości, przypadkowość ,procesy chaotyczny .

Naturalnym fraktalem , czyli obiektem przyrodniczym, jest śnieżynka albo pewien rodzaj płatka śniegu, ”kwiaty” lodowe na szybach okien przy silnym mrozie, linia brzegu lądu z morzem, krajobraz górski, tory cząstek wykonujących ruchy Browna.

W kosmosie, fraktalną strukturę wykazują : powierzchnie planet, obłoki gazu międzygwiezdnego, obłoki protogwiazd, gromady galaktyk i supergromady galaktyk(włókna, ściany, komórki puste).Opis struktur kosmicznych w języku fraktali umożliwia symulacje i modelowanie rzeczywistych, obserwowanych zjawisk we wszechświecie.

Wszechświat fraktalny w przedstawieniu Teerikorpiego i Baryszewa (wzmocnionym przedsłowiem genialnego matematyka B.Mandelbrota), to fenomen fascynujący dla czytelnika ,bo opisany językiem w miarę ścisłym a zarazem bardzo klarownym, literackim (w świetnym tłumaczeniu K.Włodarczyka ).

Fraktalnej strukturze wszechświata poświęcona jest część czwarta książki i dzięki niej, polski czytelnik, ma możliwość poznania bardzo aktualnej wiedzy w tym zakresie, zdobytej przez światowe zespoły kosmologów nawet w miesiącach przygotowywania tej książki(rok 2005)!

Jednak, treść tej części książki, nie jest odizolowana od pozostałych. Uważna lektura części poprzedzających ją ,pozwala dostrzec narodziny modelu fraktalnego już na pierwszych stronicach ,kiedy jest mowa o poglądach presokratyków na budowę wszechświata.

Autorzy bowiem ,jednocześnie z prezentacją nowego spojrzenia na kosmiczny ład przestrzeni i materii (fraktalny), piszą bardzo oryginalną historię kosmologii. Materiał faktograficzny tej historii (odkrycia, odkrywcy) jest przebogaty, wręcz sensacyjny ,ale według mnie, nie to stanowi o oryginalności pracy, lecz dwie główne idee ,które go organizują i scalają, czyniąc z niego bajeczną przygodę intelektualną, przeżywaną przez czytelnika.

Historia kosmologii(i kosmogonii) w ujęciu Teerikorpiego i Baryszewa, to głęboki nurt myśli ludzkiej wciąż atakujący archetypalny problem przyrody: gładkości ,jednorodności oraz idealności fenomenów i obiektów przyrody z jednej strony ,a z drugiej strony ich przeciwieństwa - chropowatości ,niejednorodności i przypadkowości.

Już starożytni Grecy stali w rozdarciu intelektualnym ,za czym się opowiedzieć: za platońskim światem wiecznych, niezmiennych oraz idealnych form geometrycznych będących cieniami Idei Dobra i Piękna ,które organizują i determinują ciemną i chaotyczną hylos ,czy za babilońsko-judaistyczną koncepcją świata nieokreślonego, przypadkowego, świata fenomenów i procesów stwarzania, rodzenia, ginięcia, umierania, procesów – ich zdaniem - pozbawionych niezmiennych struktur formalnej konieczności.

Wybierając ten pierwszy biegun dualnego archetypu myślenia o kosmosie, Grecy na wiele następnych wieków utrwalili wizję kosmologicznego ładu: idealność form przestrzenno-czasowych bez jakichkolwiek osobliwości w rodzaju początku lub końca, regularność ruchów i prostota torów wędrowania ciał niebieskich, całkowity brak osobliwości w zestawie fizycznych parametrów gwiazd i ich układów, wieczna niezmienność trwania gwiazd bez narodzin, ewolucji i śmierci.

Jeszcze w latach dwudziestych ubiegłego wieku, dominowała platońsko-arystotelesowska wizja ładu kosmicznego, do której idee osobliwości i nieregularności oraz indeterminizmu nie miały dostępu. Konstrukcja historii kosmologii według archetypalnego napięcia pomiędzy ideami: regularności i nieregularności, porządku i chaosu ,konieczności i przypadkowości, niezmienności i zmienności, przynosi poważne korzyści metodologiczne i pozwala autorom na wprowadzenie elementów dramatyczności do tekstu lektury.

Ujęcie historii kosmologii, zaprezentowane w rozważanej pracy, owocuje również udowodnieniem innej, doniosłej hipotezy metateoretycznej, hipotezy z zakresu metodologii nauk o przyrodzie.

W oparciu o unikalny materiał faktograficzny autorzy pokazują, że narodziny i postęp nowej, fraktalnej kosmologii były wynikiem nie działań badawczych w obrębie tzw. nauki instytucjonalnej, w domenie tzw. paradygmatu kultury naukowej ( terminologia T.S.Kuhna),lecz dokonały się poprzez indywidualne, samotnicze ,często wyśmiewane i ignorowane prace uczonych, nie rzadko ,nie należących do europejskiej society naukowej (uczelnianej) danej epoki.

Partie książki, w których czytamy o kiełkowaniu nowej wizji ładu kosmicznego, z jej szczegółowymi ideami (samopodobieństwa, deterministycznego chaosu, strukturalnej złożoności) autorstwa osób, które przez całe życie w dramatyczny sposób negowały oficjalny paradygmat nauki, należą do najbardziej interesujących ,niezwykłych i mają doniosłe znaczenie poznawcze dla czytelnika.

Teerikorpi i Baryszew, z wielką troską i sympatią pochylają się nad pracami, często wyrzuconych poza nawias oficjalnej kosmologii nowożytnej, takich autorów jak : E.Swedenborg,E.Fournier d’Albee,J.Lambert,K.Lundmark ,

G.leGentile,E.Mottola,E.Nottale,G.Nordstrom,T.Jaakkola,

J.HoltsmarkE.Harrison,C.Charlier,T.Agekyan ,F.Selety.

Odnajdują w tych zapoznanych i zapomnianych odkryciach teoretycznych lub obserwacyjnych, tropy prowadzące do odsłon -nie przeczuwanych nawet- fenomenów i obiektów wszechświata, ucząc tym samym czytelnika, iż ludzka wiedza jest zawsze niepewna, a to, co za T.Kuhnem ,nazywamy “rewolucją naukową” nie jest dziełem nauki instytucjonalnej, lecz ma charakter dramatycznych zmagań samotnych umysłów i serc z ciągle powiększającą się tajemnicą istnienia przyrody i nas w niej.

Pozostają jednak pytania dość ważne z punktu widzenia rozwoju wiedzy o wszechświecie: czy model fraktalny obiektów kosmicznych jest płodny ,czy li tylko jest opisem zjawisk w innym języku? Czy sugeruje jakiś nieznany dotychczas, mechanizm procesów i obiektów astronomicznych o strukturze fraktalnej?

Na przykład : ciemnej materii, ciemnej energii? Czy hierarchia struktur we wszechświecie wykazuje lokalną fraktalność, czy przeciwnie- globalną? Jak wytłumaczyć zadziwiającą zgodność prawa Hubblea(które implikuje jednorodność rozkładu galaktyk) i fraktalne rozmieszczenie galaktyk nawet do odległości 100 Mpc ?

Czy grupowanie gromad galaktyk ma ten sam wymiar fraktalny, co grupowanie galaktyk? A czy rozkład fraktalny skupisk obiektów (galaktyk, gromad galaktyk) przechodzi w jednorodny i na jakich odległościach od ziemskiego obserwatora to zachodzi? Sięganie na odległość gigaparseków ,to tym samym cofanie się wstecz w historii wszechświata, wobec tego wykrycie megafraktali, może mieć znaczenie dla naszej wiedzy o bardzo wczesnym wszechświecie.

Autorzy książki są optymistami, co do znalezienia odpowiedzi na te pytania, gdyż uważają ,że rewolucja w kosmologii polega na przejściu od spekulacji teoretycznych do obserwacji i modelowego badania struktury wszechświata.

Witam!
Odpowiedź dla  MHS

Posługuję się programem do tworzenia fraktali i wybieram w nim dowolne liczby. Na podglądzie patrzę co z nich powstaje oraz dodatkowo mogę graficznie manipulować trójkątem, który jest graficznym wyrażeniem jednej z wielu możliwości. Przy wyborze np 3 możliwości mam trzy trójkąty które mogę dowolnie przemieszczać i nadawać im dowolne wartości w kilkunastu możliwościach
Trochę może to zawiłe ale nie da się w paru słowach opisać działania programu.
Program ten ma w nieskończoną liczbę możliwości a kieruję się intuicją i tym czy dany fraktal podoba mi się czy nie.

Załączam ostatni mój fraktal. Pozdrawiam.
(http://img51.imageshack.us/img51/7815/fraktal6a.jpg) (http://img51.imageshack.us/my.php?image=fraktal6a.jpg)

Piękny!!

  Tak też myślałem.
Chodziło mi w sumie oto, aby nie zapomnieć, że
fraktal istnieje wtedy, gdy mamy do czynienia z choćby z jedną geometrią kaształtu, w której występuje współzależność F- 0.618.
Im większy odstęp od  0,618 tym ''mniejszy fraktal''.
Jeżeli coś jest piękne ( nasze subiektywne odczucie) nie znaczy to tym samym, że jest fraktalne, prawda ?

Ponieważ energie wszechświata biegną coraz szybciej i mamy coraz większą wymianę informacji  z tzw.''polem powszechnym'' doszło do mnie, że  energia to przecież nic innego tylko skompresowana fraktalnie informacja.
Kształty i formy geometryczne w istocie stanowią tylko nośnik informacji.
Jednak w dalszym ciągu nie mogę pojąć gdzie istnieje zapis świadomości ( czyli zbioru informacji).
Jak to Leszek chciał mi wyjaśnić, w którymś z postów, ze świadomość wynika z formy.

Ok.
Przecież człowiek ''umiera''.Forma i wszystko co z nią się wiąże ulega rozkładowi. Cała energia tej formy zgodnie  z prawem entropi zostaje wrzucona do otoczenia.
Ale świadomość i wszystkie jej doświadczenia nie giną !
Pamięć jest wieczna ! I nie zależy ona od tego, czy ktoś żyje czy nie ? ! Stąd było moje pytanie, gdzie jest zrobiony zapis wszystkich (informacji) - doświadczeń  jednostki skoro ta forma ( geometryczny kształt) ulega  destrukcji ?




 

Trochę podstaw dotyczących fraktali

DOMINIK SZCZERBA
FRAKTALNE OBLICZE NATURY
Artykuł pochodzi z "Wiedzy i Życia"nr 10/1996
W 1980 roku Benoit Mandelbrot badał numerycznie pewne wielomiany zespolone i otrzymał interesujące wykresy. Patrząc na nie, wysnuł przypuszczenie, że geometria euklidesowa nie nadaje się do opisu przyrody - góry nie są stożkami, a linia brzegowa nie jest odcinkiem. Są to raczej, jak to określał Euklides, "bezkształtne" formy, które Mandelbrot nazwał fraktalami - od łacińskiego słowa fractus co znaczy "podzielony", "ułamkowy". Nazwa ta jest adekwatna - dobrze oddaje strukturę fraktali. Charakteryzuje je bowiem wysokie samopodobieństwo - każdy fragment przypomina całość.

Nie jest łatwo jednoznacznie zdefiniować, co to są fraktale. Za kryterium można jednak przyjąć wymiar (przypomnijmy: w zwykłej "naszej geometrii" euklidesowej prostej przypisujemy wymiar - 1, płaszczyźnie - 2, przestrzeni - 3, czyli liczby naturalne), który dla fraktali liczbą naturalną właśnie nie jest, jakkolwiek może się to wydawać nieco dziwne.

Dokładne zrozumienie mechanizmu powstawania fraktali wymaga znajomości liczb zespolonych. Ponieważ matematyczne wywody są dość skomplikowane i mogą zanudzić nie obeznanego z matematyką czytelnika, postaram się przybliżyć to pojęcie. Generalnie fraktale - to taka interpretacja graficzna pewnych równań czy ciągów, które do niedawna uchodziły za matematyczne potworki, zupełnie abstrakcyjne i nie mające żadnych odniesień do rzeczywistości. Ich tworzenie polega na powtarzaniu w nieskończoność określonych czynności, na liczeniu kolejnych elementów pewnych ciągów i dobieraniu koloru rysowanego punktu w zależności od wyniku. Chcących się dowiedzieć czegoś więcej odsyłam do odpowiednich ramek.

Jaka jest faktyczna struktura przyrody? Na obrazkach dzieci jawi się ona często jako kombinacje prostych brył geometrycznych (dom - kwadrat, słońce - kółko, pies - prostokąt, chmura - elipsa itd.). Patrzymy na to z odrobiną wyższości, ale - tak na prawdę - czy nasze pojmowanie świata tak bardzo różni się od jego pojmowania przez dziecko? Proszę spróbować narysować wodę albo chmurę z całą jej skomplikowaną strukturą. Nie jest to takie łatwe, prawda? Czy można powiedzieć, że chmura jest elipsoidą albo prostopadłościanem? A drzewo? Czy można jednoznacznie powiedzieć, że pień to stożek, liście to trójkąty, a gałęzie to odcinki? Jak nazwać kształt płomienia albo błyskawicy?


To właśnie są przykłady występujących w przyrodzie obiektów fraktalnych. Chmura stanowi niewątpliwie jedną całość, ale jest "dziurawa" jak gąbka, ponieważ składa się z nieprzebranej ilości mikroskopijnych kropelek wody i pary wodnej. Jest więc odrębną całością, ale złożoną z wielu mniejszych całości, także odrębnych. Jeżeli "wytniemy" mały kawałek chmury, to otrzymamy coś bardzo do niej podobnego. Gdy odłupiemy kawałek skały, to otrzymamy miniaturkę całej skały. I jeśli sfotografujemy odłupany fragment bez żadnego układu odniesienia (np. pudełka zapałek, którego wielkość znamy), to nie będziemy w stanie odróżnić go od prawdziwej góry (ten efekt bardzo często wykorzystuje się w trikach filmowych)! Podobnie fraktale: nie można jednoznacznie nazwać ich kształtów, a przy tym charakteryzują się one dużym samopodobieństwem - fragment przypomina całość, również przy fraktalach różnych rodzajów.

Przyglądając się fraktalom, ciężko się oprzeć wrażeniu, że formy te są nam znajome. Na załączonych ilustracjach przedstawiam różnego rodzaju przykłady. Zostały one wygenerowane przeze mnie na komputerze w dużej liczbie kolorów (w oryginale ponad szesnaście milionów różnych barw, w druku wszystkich nie da się odtworzyć). Widać ich podobieństwo do ognia, wody, szronu. Efekt plazmy doskonale oddaje chaotyczną strukturę chmur, a specyficzne spirale-ramiona przypominają konika morskiego, rozgwiazdy, glony, czy morskie wodorosty; jednego z przedstawionych fraktali można wprost pomylić z wizerunkiem błyskawicy (to nie jest zdjęcie nieba podczas burzy! - patrz: ostatni fraktal).

Podobieństwo to bierze się stąd, że fraktale mają charakterystyczny, chaotyczny "kształt", który znacznie lepiej oddaje strukturę przyrody niż tradycyjne pojęcia geometrii. Jednak najdziwniejsze, i jak na razie najbardziej tajemnicze, jest źródło tych podobieństw. Cóż, jest to zagadnienie z dziedziny metafizyki... Może kiedyś będziemy umieli je rozwiązać. Do niedawna w nauce panował deterministyczny pogląd, że wszystko można przewidzieć i obliczyć. Pogląd ten ostatnio zaczął się poważnie chwiać, a jednocześnie nadzieje pokładane w komputerach i ich mocy obliczeniowej okazały się przesadne. Weźmy na przykład powierzchnię wody w jeziorze. Dopóki jest ona płaska (nie ma wiatru) można przyjąć, że jest zwykłą, łatwą do opisania matematycznie płaszczyzną. Gdy wrzucimy do jeziora jeden lub dwa drobne kamyczki, to powstałe fale koliste też możemy od biedy opisać odpowiednim równaniem mechaniki falowej. Ale gdy wrzucimy całą garść takich kamyków, albo jeden wielki kamień nieforemny, to nie ma żadnych szans na policzenie współrzędnych cząstek, tworzących powierzchnię tafli jako funkcji czasu. Można powiedzieć, że absolutnie nie da się przewidzieć dokładnego zachowania wody po wrzuceniu w nią kamienia - nie mówiąc już o obliczeniach w czasie rzeczywistym! Każdy widział, jaki powstaje w tym czasie chaos - jest to bardzo piękne, ale nigdy nie da się znaleźć funkcji analitycznej, która opisze takie zjawisko ze stuprocentową dokładnością. Każdy natomiast potrafi narysować drzewo, ponieważ ono w miarę kojarzy się z walcem, stożkiem, odcinkami itp.
Ale proszę spróbować dokładnie narysować wytrysk wody albo powierzchnię morza podczas ulewy i burzy... Trudności są spowodowane tym, że obiekty tego typu ciężko opisać w terminach zwykłej geometrii. Gdy jednak zamiast języka tradycyjnej geometrii użyjemy języka fraktali - problem znacznie się uprości. I tak - powstaje filozoficzne pytanie o piękno. Czy piękne jest to, co proste, czy to, co chaotyczne, nieuporządkowane? Osobiście jestem przekonany, że piękno to synonim pewnej odmiany chaosu, swoistego porządku w nieporządku. Płomień ognia jest tak prosty, a jednak tak skomplikowany...

Zresztą nikt chyba nie wątpi w piękno przyrody, a ona z dużą dozą prawdopodobieństwa wybrała wszelkie oglądane przez nas rozwiązania w idealnie odpowiednich proporcjach. Miała w końcu na to sporo czasu... Jestem przekonany - choć dopuszczam i sąd nie tak skrajny - że żaden obraz, nawet największego mistrza pędzla, nigdy nie będzie doskonalszy od arcydzieła największego artysty, jakim jest Natura.

A fraktale? Może jednak wykradliśmy Naturze skrawek zazdrośnie strzeżonego przepisu na piękno?

Ktoś może jednak zapytać - obrazki są bardzo ładne, ale co z tego? Czy mamy z nich jakikolwiek pożytek, czy też jest to jedynie nikomu niepotrzebna ciekawostka matematyczna? Otóż okazuje się, że algorytmy, służące do generowania różnego rodzaju fraktali, mają zastosowania praktyczne, i to dość ważne. Po pierwsze - przekształceń fraktalnych można używać do kodowania obrazów, a co za tym idzie - do ich kompresji, czyli zmniejszania rozmiarów opisujących je plików komputerowych. Po drugie - algorytmy fraktalne wykorzystuje się do nadawania realistycznych tekstur tworzonym na komputerze obiektom - ma to z kolei szerokie zastosowanie w technikach przetwarzania obrazu wideo. Wreszcie, za pomocą fraktali można sztucznie generować na komputerze wirtualne światy, do złudzenia przypominające rzeczywiste krajobrazy górskie, morze, słońce itp. Niektóre z nich dają efekty zdumiewające.

Wspomniana wyżej fraktalna kompresja obrazu, to ostatnio bardzo modne zagadnienie. Okazuje się bowiem, że o ile z przechowywaniem pojedynczych obrazów nie ma specjalnie większych problemów, o tyle w wypadku cyfrowych filmów (będących przecież ciągami pojedynczych obrazów, szybko odtwarzanych jeden po drugim), ich zapotrzebowanie na miejsce w pamięci komputera jest zbyt duże. Dla przykładu: jeden obraz w rozdzielczości 1280 na 1024 punktów w 24 bitach koloru, czyli taki, jaki stosuje się podczas profesjonalnego przekształcenia obrazu wideo bez żadnej kompresji zajmie w pamięci komputera 1280 x 1024 x 3 = 3 932 160 bajtów, czyli prawie 4 MB (megabajty). Załóżmy, że mamy krótki cyfrowy film, o długości trwania 15 minut. Jak wiadomo minimalna prędkość odtwarzania poszczególnych obrazów, żeby nasze oko odbierało je jako płynny film, wynosi 25 klatek na sekundę. Czyli mamy 25 klatek na sekundę po 4 MB na jedną klatkę przez 15 minut, czyli 25 x 15 x 60 x 4 = 90 000 MB = 90 GB (gigabajtów), czyli potwornie dużo! Dla przykładu - pojemność płyty kompaktowej to około 700 MB, pojemność największych dysków twardych wynosi obecnie blisko 3 GB. Jak widać, są to wielkości co najmniej kilkanaście razy za małe, a pamiętajmy, że nasz piętnastominutowy film to bardzo skromne przedsięwzięcie.

Od dawna znane są różne sposoby kompresji danych (np. używane w popularnych archiwizerach, jak LHA, LZX, ARJ, itp.), jednak nie sprawdzają się one zupełnie przy kompresji danych graficznych. Po pierwsze oferują kompresję o niewielkim stosunkowo stopniu, a po drugie dekompresja trwa znacznie dłużej, niż wymagany minimalny czas 1/25 sekundy. Naturalne jest więc, że zaczęto szukać próby takich metod kompresji, które dałyby znacznie większy stopień "ściśnięcia" plików i znacznie krótszy czas dekompresji. Czy to jest w ogóle możliwe do realizacji? Okazuje się, że tak. Jednakże ceną, jaką musimy za to zapłacić jest utrata jakości skompresowanego obrazu. Na szczęście ów spadek jakości jest często prawie niezauważalny, a poza tym współczynnik kompresji rzędu nawet kilkudziesięciu do jednego całkowicie rekompensuje nam straty.

Problematyką tą zainteresowano się głównie za sprawą M. Barnsleya, który skomercjalizował ten sposób postępowania. W tym tekście przedstawię jedynie prostą ideę postępowania z obrazkiem w odcieniach szarości - dokładne algorytmy są bardzo skomplikowane i często chronione patentami. Otóż z danego obrazka tworzy się pewną funkcję matematyczną przez przypisanie każdemu z punktów obrazka liczby, będącej jasnością tego punktu obrazu. Im dany punkt jest jaśniejszy, tym większą wartość będzie przyjmowała funkcja; im ciemniejszy, tym mniejszą. Podstawą fraktalnej kompresji obrazu jest to, że każdy obraz może być traktowany jako odpowiednio przekształcone (afinicznie - jeśli ktoś zna ten termin) kopie części samego siebie. Działanie takiego algorytmu opiera się więc na podzieleniu obrazu (ściślej - dziedziny owej funkcji) na fragmenty i następnie podaniu przekształceń, za pomocą których można odtworzyć cały obraz z jego części. Postępowanie takie oczywiście nie da nam dokładnie obrazu wyjściowego - musimy dopuścić pewien błąd, czyli określoną niezgodność z oryginałem. Jednak przy takiej kompresji mogą być jeszcze wybierane przekształcenia, dające najmniejszą różnicę skompresowanego obrazu w stosunku do obrazu wyjściowego, co pozwala sterować jakością. W postaci nieskompresowanej obraz jest zapisywany (z grubsza) w postaci tablicy - współrzędne punktu obrazu i odpowiadający im kolor.

Natomiast po kompresji obraz taki będzie zapisany już nie jako tablica, ale jako zbiór przekształceń matematycznych - i tu właśnie leży tajemnica dużego stopnia kompresji. Obraz - poddany takiej kompresji - nie będzie już wierną kopią oryginału, a tylko jego przybliżeniem. Jednak, jak wspomniałem, przybliżenie to jest na ogół zadowalające, a już na pewno opłacalne, biorąc pod uwagę, że możemy w ten sposób zmniejszyć rozmiar obrazu kilkadziesiąt (a nawet kilkaset!!!) razy.

O ile kodowanie i dekodowanie poszczególnych obrazów nie przedstawia większych problemów (ostatecznie na zdekodowanie jednego obrazka możemy poczekać nawet parę sekund), o tyle w przypadku filmów potrzebny jest czas dekompresji - jak mówiliśmy - bardzo krótki. I tu mamy pewien dylemat, bo im bardziej zależy nam na wierności skompresowanego obrazu w stosunku do oryginału, tym dłuższy okazuje się czas dekompresji i tym mniejszy jest stopień kompresji. I na odwrót - najkrótszy czas dekompresji i największy współczynnik kompresji, to znaczące zniekształcenia obrazu, spadek jakości i zauważalne różnice w stosunku do obrazu wyjściowego.

Konieczny jest więc pewien kompromis - wszystko zależy od mocy obliczeniowej komputera, jakim się dysponuje, oraz pojemności jego pamięci. Badania nad ulepszeniem metod fraktalnej kompresji obrazu wciąż trwają. Istnieje jeszcze jedna zaleta takiego sposobu kompresji - dobra jakość obrazu nawet przy czterokrotnym powiększeniu. Każdy, kto choć trochę bawił się grafiką na komputerze, zna doskonale efekt powiększania komputerowych zdjęć - zwany w informatycznym żargonie pikselizacją. Prowadzi on do pojawienia się na ekranie monitora charakterystycznych kwadracików, wywołujących wrażenie "ziarnistości" obrazu. Metoda fraktalnej kompresji pozwala jednak na zapamiętanie obrazu w postaci zbioru funkcji matematycznych, co z kolei pozwala na odtworzenie obrazu z dobrą dokładnością - teoretycznie w dowolnej skali. Czemu tylko teoretycznie? Dlatego, że jesteśmy ograniczeni zdolnością rozdzielczą urządzenia, za pomocą którego wczytaliśmy obraz do komputera (tzw. skanera lub digitalizera), jak i jakością samego obrazu (np. zdjęcia). Nie należy więc oczekiwać, że przy milionowym powiększeniu zobaczymy strukturę komórek skóry przedstawionego na zdjęciu człowieka, czy też cząsteczki materiału jego koszuli, bo otrzymane przy takim powiększeniu obrazy nie będą już miały nic wspólnego z rzeczywistością. Jednak przy powiększeniu niewielkim (np. czterokrotnym) jakość powiększonego obrazu będzie znacznie lepsza od powiększonego o tyle samo oryginału - w ogóle nie będzie pikselizacji!

Algorytmy generowania fraktali można też wykorzystać do sztucznego generowania krajobrazów. Są programy komputerowe, za pomocą których można generować pseudozdjęcia, a nawet całe animacje. Jest to bardzo przydatne w różnego rodzaju technikach wideo (np. triki filmowe), gdzie na przykład bardziej opłaca się "zburzyć" sztuczną, istniejącą tylko w pamięci komputera górę lub zasymulować zejście z takiej góry sztucznej lawiny, niż robić to w rzeczywistości. Na początku, gdy tylko pojawiły się takie programy, większość ludzi patrzyła na efekty ich działania z politowaniem - widać było bowiem wyraźnie, że tworzone obrazy są sztuczne, że brakuje w nich tego "czegoś". To brakujące "coś" okazało się fraktalnymi technikami generowania naturalnych obiektów występujących w przyrodzie.

Istnieje sporo programów wykorzystujących do generowania obrazów te techniki (SoftImage, Lightwave, Real3D). Efekty ich działania możemy podziwiać w większości stosunkowo nowych (najwyżej sprzed paru lat) filmów science fiction i fantasy, gdzie istnieje potrzeba stworzenia nie istniejących przecież w rzeczywistości - ale jednak realistycznych - scenerii.

Kończąc ten artykuł namawiam do krótkiej refleksji. We fraktalach uderza piękno przypadkowych kompozycji - a jednocześnie wysokie samopodobieństwo i symetria. W swoich pracach Mandelbrot wyrażał pogląd, że cała przyroda ma strukturę fraktalną, a twory czysto geometryczne w ogóle nie istnieją, są jedynie stworzonymi przez ludzi uproszczeniami.

Jeśli popatrzymy na wzburzone morze o zachodzie słońca lub zamarzniętą na szybie parę wodną, to wydaje się, że Mandelbrot miał dużo racji...

LICZBY ZESPOLONE
(http://archiwum.wiz.pl/images/duze/1996/10/96101917.GIF)
Liczby zespolone możemy utożsamiać z punktami płaszczyzny

Liczba zespolona to liczba postaci z = a + bi, gdzie a to tzw. część rzeczywista [oznaczana jako Re(z)], b to część urojona [oznaczana jako Im(z)], zaś i to wielkość spełniająca równanie i2 + 1 = 0. Proszę zwrócić uwagę, że i2 = -1, co nie zachodzi dla żadnej liczby rzeczywistej. Wniosek: i nie jest liczbą rzeczywistą. Zbiór liczb zespolonych jest uogólnieniem zbioru liczb rzeczywistych - te ostatnie to szczególny przypadek tych pierwszych dla b = 0. Liczby zespolone przedstawiamy na płaszczyźnie jako uporządkowane pary liczb (a, b). Układ współrzędnych przypomina kartezjański, ale zamiast osi x i y mamy oś rzeczywistą Re(z) i oś urojoną Im(z). Liczbie 1 - 2i odpowiada więc punkt (1, -2) w takim układzie współrzędnych, liczbie 3i odpowiada punkt (0, 3), liczbie 2 punkt (2, 0) itd. Oto jak przedstawia się w takim zbiorze dodawanie i mnożenie: z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i = A + Bi gdzie A = a1 + a2, zaś B = b1 + b2. Na płaszczyźnie jest to więc po prostu punkt o współrzędnych (a1 + a2, b1 + b2) z1 z2 = (a1 + b1 i) (a2 + b2 i) = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1) i = A + Bi gdzie A = a1a2 - b1b2, B = a1b2 + a2b1. Na płaszczyźnie jest to punkt o współrzędnych (a1a2 - b1b2, a1b2 + a2b1). Jeżeli mamy dany punkt z = a + bi, oraz zachodzi a2 + b2 < R2 dla jakiegoś R będącego liczbą rzeczywistą dodatnią, to graficznie taki punkt leży wewnątrz koła o środku w początku układu współrzędnych i o promieniu równym R.
ZBIORY MANDELBROTA
(http://archiwum.wiz.pl/images/duze/1996/10/96101918.GIF)
Tak zaczynamy konstruować fraktal Mandelbrota

Wyobraźmy sobie ciąg liczb zespolonych z0, z1, z2, z3,... i przyjmijmy, że pierwszy wyraz ciągu jest zerem, a każdy następny wyraża się przez kwadrat poprzedniego, zwiększony o pewną stałą zespoloną, czyli zn + 1 = zn2 + c, gdzie c oznacza pewną stałą zespoloną, spełniającą tu rolę parametru. Dla ułatwienia podam kilka pierwszych elementów tego ciągu: z0 = 0, z1 = c, z2 = c2 + c, z3 = (c2 + c)2 + c, z4 = [(c2 + c)2+c]2 + c..., itd. gdzie dodawanie i potęgowanie należy rozumieć w sensie działań na liczbach zespolonych.

Okazuje się, że dla pewnych wartości parametru c ciąg z0, z1, z2, z3,... jest ograniczony na płaszczyźnie zespolonej, a dla innych - nie. Ograniczony oznacza tu: mieszczący się w całości wewnątrz koła o pewnym skończonym promieniu. Mamy tu do czynienia z analogią do geometrii - bo przecież liczbom zespolonym odpowiadają (patrz: ramka s. 23) punkty na płaszczyźnie; na przykład kwadrat, odcinek czy zbiór skończonej liczby punktów jest oczywiście zbiorem ograniczonym, zawsze bowiem można dobrać koło o takim promieniu, które go "przykryje". Ale prosta czy płaszczyzna już nie są zbiorami ograniczonymi.

Narysujmy układ współrzędnych o osiach Re(c) oraz Im(c), a w nim koło o środku w punkcie (0, 0) o promieniu - powiedzmy - 2. Ustalmy jakiś zakres zmian parametru c, np. -2 < Re(c) < 1, -1.5 Im(c) < 1.5. Zbiór tych wartości utworzy kwadrat. Narysujmy go również - wewnątrz niego powstanie nasz fraktal.

Gdybyśmy teraz rysowali po kolei punkty owego ciągu, to zobaczylibyśmy, że albo wszystkie zmieszczą się wewnątrz zadanego koła, albo część poza to koło "wyjdzie". Ale tu pojawia się problem: koniec końców trzeba narysować wszystkie wyrazy ciągu co, z powodów - nazwijmy je - czasowych, jest raczej niewykonalne.

W praktyce robi się nieco inaczej. Dla każdego punktu leżącego wewnątrz kwadratu obliczamy N pierwszych wyrazów ciągu (N jest odpowiednio duże, np. kilkaset) i sprawdzamy warunek ograniczoności powstałego zbioru punktów, czyli rysujemy je na wykresie, obserwując czy wszystkie leżą wewnątrz narysowanego wcześniej koła. Jeżeli wszystkie spełniają ten warunek, to domniemywamy, że wszystkie następne punkty też go będą spełniać - rysujemy punkt o współrzędnych rozważanego właśnie punktu c i bierzemy punkt następny. Gdy jakikolwiek punkt opuści koło, to przechodzimy do następnego bez żadnej akcji. I tak dalej... To, co otrzymamy w granicy jest właśnie zbiorem Mandelbrota, czyli zbiorem tych wartości parametru c, dla których wyrazy ciągu z0, z1, z2, z3,... określone zależnością rekurencyjną zn+1 = zn2 + c leżą wewnątrz koła o stałym promieniu.

I tu ważna uwaga: zbiór Mandelbrota jest w zasadzie czarno-biały (punkt należy do zbioru - czerń, nie należy - biel), ale nic nie stoi na przeszkodzie, żeby go pokolorować. Robi się to w taki sposób, że zamiast stawiać punkt lub go nie stawiać, stawiamy punkt w kolorze zależnym od liczby punktów mieszczących się w kole. I tak, jeśli mieszczą się wszystkie, to stawiamy punkt czarny, gdy 10% wychodzi poza koło - niebieski, gdy 20% - zielony, itd. Im więcej kolorów, tym oczywiście ciekawszy obrazek.
ZBIORY JULII

(http://archiwum.wiz.pl/images/duze/1996/10/96101919.GIF)
Konstrukcja zbioru Julii: zielony punkt rozpoczyna ciąg wychodzący poza koło i nie należy do zbioru; czerwony punkt generuje ciąg zawarty w kole i należy do zbioru

Weźmy na przykład ciąg liczb zespolonych, ale określonych trochę inną zależnością, niż to było w wypadku zbioru Mandelbrota, a mianowicie zn + 1 = zn3 + c, zakładając, że pierwszy wyraz ciągu nie jest zerem. Tym razem ustalamy sobie z góry jakiś parametr c, którego nie będziemy jednak zmieniać. Możemy natomiast w pewnych granicach zmieniać pierwszy wyraz ciągu, czyli z0. Rysujemy układ współrzędnych o osiach Re(z0), Im(z0) z odpowiednim kołem, wybieramy zakres zmian jego wartości, rysując w układzie jakiś kwadrat, i dla każdego punktu zawartego w tym kwadracie obliczamy L pierwszych wyrazów ciągu z0, z1, z2,... Jeśli wszystkie L wyrazów ciągu mieści się wewnątrz naszego koła - stawiamy punkt o współrzędnych rozważanego punktu z0 (a nie c, jak poprzednio) i przechodzimy do następnego. Jeżeli warunek ten nie jest spełniony, to przechodzimy do następnej wartości z0 bez rysowania punktu.

Okazuje się (można to z łatwością sprawdzić samemu), że zbiory Julii dla wielomianów postaci zn + 1 = znk + c są niezmiennicze przy obrocie względem początku układu współrzędnych o kąt 2pk (symetria kątowa). Jeśli zaś parametr c zmienimy na sprzężony (liczba sprzężona z daną liczbą zespoloną, to taka liczba, której część urojona Im(z) ma przeciwny znak niż ta pierwsza), to otrzymamy lustrzane odbicie zbioru względem osi Im(z) = 0. Jeśli założymy, że k jest nieparzyste i zamienimy c na przeciwne (zmienimy znak c) to obrócimy zbiór o 180 stopni. Zbiory Mandelbrota z kolei są symetryczne względem osi Im(c) = 0, a przy nieparzystym k również względem osi Re(c) = 0.

GENEROWANIE FRAKTALI

W praktyce do generowania fraktali używa się komputerów. Jest to o wiele prostsze i szybsze niż ślęczenie nad kartką z ołówkiem i kalkulatorem. Wszystkie prezentowane tu obrazy zostały przeze mnie wygenerowane na komputerze. Istnieje cała masa gotowych programików, generujących fraktale i można z nich łatwo skorzystać. Pozwalają one na wygodne wprowadzanie parametrów, pozwalają tworzyć animacje, pokazujące na przykład płynne powiększanie wycinka fraktala, pozwalają zapisywać obrazki na dysku i drukować je. Są one dostępne najczęściej jako tzw. freeware, czyli programy darmowe, za używanie których nic się nie płaci, lub tzw. shareware, tzn. programy, które można używać za darmo tylko pewien czas (określony przez autora), później zaś należy przesłać autorowi pieniądze - na ogół znikome kwoty - bądź zrezygnować z używania programu. Programy tego typu można znaleźć w Internecie.


a na koniec fraktalna monaliza

(http://binboy.sphere.pl/down.php?idmk=537&name=yes)

(http://binboy.sphere.pl/down.php?idmk=527&name=yes)

Heh... podziwiam Cię Michał Anioł.Skąd ty bierzesz w tak szybkim tempie tyle różnej żródłowej wiedzy i to z różnych tematów. ?
Ja to mam z tym niestety problem. Bo zanim coś znajdę konkretnego na necie to mijają całe godziny, a nie ''dorobiłem'' się takiego skarbczyka, że kliknę i już ma to co chcę.

witam 1

Odpowiedź dla MHS.
Wg mojej wiedzy zapis wszystkich informacji znajduje się we wszechświecie przyczynowym. Zobrazuję to rysunkiem. Oczywiście to jest moje widzenie i nikomu nie chcę tego narzucać.
(http://img714.imageshack.us/img714/6664/prezentacja2.jpg) (http://img714.imageshack.us/my.php?image=prezentacja2.jpg)

Witam !

MHS napisałeś, że ;
fraktal istnieje wtedy, gdy mamy do czynienia z choćby z jedną geometrią kaształtu, w której występuje współzależność F- 0.618.
Im większy odstęp od  0,618 tym ''mniejszy fraktal''.

No i powstał problem, może też go nie ma  bo chcę przedstawić fraktal
(http://img687.imageshack.us/img687/6569/fraktal7.jpg) (http://img687.imageshack.us/my.php?image=fraktal7.jpg)

który powstał z następujących ciągów liczb:
Transform 1 - o,419573 ; 0,437207 ; 0,14322
Transform 2 - 0,419573 ; 0,207207 ; 0,23 ; 0,14322
Transform 3 - 0,207207 ; 0,419573 ; 0,23 ; 0,14322
Transform 4 - 1

Witam !

Zamieszczam fraktal który powstał z liczby 1,618. Może komuś sprawi troszkę przyjemności popatrzenie na niego.
Pozdrawiam.

(http://img402.imageshack.us/img402/180/fraktal8.jpg) (http://img402.imageshack.us/my.php?image=fraktal8.jpg)

Prosimy Was o pisanie nowych postów w tym temacie w nowej lokalizacji.

Tutaj: http://forum.swietageometria.info/index.php/topic,325.msg1873.html#msg1873

Wątki przekopiowane do nowej lokalizacji będą tutaj zamykane i z podaniem linka do nowej lokalizacji - jak wyżej.
(Jest to zawsze link do OSTATNIEGO posta, który widzisz w wątku na starym forum)

Przepraszamy za mały kłopot, bo trzeba się zarejestrować ponownie w nowej lokalizacji. Mogę (jako admin) zrobić to za każdego, który sobie tego zażyczy i przesłać mu na e-maila nowe hasło (z nowego forum), które sam  łatwo sobie zmieni w zakładce PROFIL/Ustawienia dotyczące konta.  Wyślę wszystkim instrukcję jak to zrobić.

Wszystkich poinformuję w środę/czwartek o powodach przenoszenia forum.
Wyślę wówczas wszystkim forumowiczom wiadomość na PW.

Przepraszamy za tą niedogodność. Liczymy na wyrozumiałość.

Pozdrawiamy! :)

Zespół Forum