Poznanie geometryczne dotyczy tego, co wieczne - stwierdzi³ Platon ponad dwa tysi¹ce lat temu. ŒwiadomoœÌ tego towarzyszy³a cz³owiekowi od zarania dziejów. Najpierw przez wieki próbowano okreœliÌ geometryczny kszta³t Ziemi, potem kszta³t orbit cia³ niebieskich, by w czasach nowo¿ytnych - dziêki geniuszowi Einsteina - opisaÌ kszta³t czasoprzestrzeni.
Wszystkie te wielkie akty poznania mog³y nast¹piÌ w wyniku rozwoju geometrii, która wyznacza³a drogi opisu œwiata rzeczywistego, z³o¿onego z nieogarniêtej liczby obiektów o przeró¿nych kszta³tach i formach przestrzennych. Jednak ani klasyczna geometria Euklidesa, ani geometria eliptyczna i hiperboliczna nie wystarcza³y do opisu ca³ej z³o¿onoœci Natury. Przede wszystkim dlatego, i¿ geometrie te bada³y w³asnoœci figur wyidealizowanych, doskona³ych w swym kszta³cie okrêgów, elips, trójk¹tów, kul itp., w kontekœcie odwzorowaù izometrycznych. Dopiero nowa geometria rozwijaj¹ca siê od koùca ubieg³ego stulecia - topologia - stworzy³a podstawy do rozwa¿aù nad holistycznymi w³asnoœciami obiektów, nad homomorfizmami (tj. bijekcjami w obie strony ci¹g³ymi).
"Chmury nie s¹ kulami, góry sto¿kami, linie brzegowe ko³ami, kora nie jest p³aska, ani te¿ b³yskawica nie porusza siê po linii prostej" - napisa³ w The Fractal Geometry of Nature Mandelbrot (1982: 1). Wnikaj¹c g³êbiej w ten problem, dla uchwycenia nieregularnoœci obiektów spotykanych w rzeczywistoœci, Mandelbrot odkry³ nowe formy geometryczne, które od ³aciùskiego s³owa fractus ("z³amany") nazwa³ fraktalami.
Fraktale cechujÂą nastĂŞpujÂące wÂłasnoÂści geometryczne i algebraiczne:
(1) nie posiadajÂą unikalnej, charakterystycznej dla nich skali dÂługoÂści, gdyÂż powiĂŞkszone lub pomniejszone nie zmieniajÂą swych ksztaÂłtĂłw,
(2) s¹ samopodobne na ka¿dym poziomie obserwacji (pomiaru) w tym sensie, ¿e po wyciêciu z nich dowolnej ma³ej czêœci i jej powiêkszeniu powstanie obiekt wiernie naœladuj¹cy ca³oœÌ,
(3) przedstawione w sposĂłb analityczny, opisywane sÂą zaleÂżnoÂściami rekurencyjnymi, a nie wzorami matematycznymi.
Tradycyjne figury geometryczne takie jak koÂła, trĂłjkÂąty czy kwadraty, nie speÂłniajÂą tych wÂłasnoÂści. WyciĂŞty fragment kwadratu nie przypomina caÂłego kwadratu. JednoczeÂśnie jednak niektĂłre z tych figur, np. koÂło, poddajÂą siĂŞ procedurze renormalizacji opartej na pojĂŞciu samopodobieĂąstwa, czyli tendencji do wielopoziomowego powtarzania identycznych struktur geometrycznych.
W czystej matematyce takie obiekty zosta³y zdefiniowane znacznie wczeœniej (oczywiœcie nie nazywano ich fraktalami), by³y one traktowane jako swego rodzaju przypadki szczególne, "monstra", które w pewnym sensie potwierdza³y ograniczon¹ zdolnoœÌ poznania klasycznej geometrii. W dzisiejszej terminologii nazywane s¹ one fraktalami deterministycznymi. Natomiast fraktale spotykane w rzeczywistoœci (nie sztuczne) okreœla siê jako losowe.
