6. "Cyrklem i linijką" - rysunki i szablony

[Leszek]

W tym dziale znajdują się szablony, konstrukcje różnych figur geometrycznych oraz ciekawe rysunki, zdjęcia i animacje związane ze świętą geometrią.


Na początek szablony pięciu brył platońskich...
Gotowe do wycięcia i sklejenia. Sprawdzone. Działa.
(Kliknij na obrazek, aby go powiększyć. Następnie zapisz go na dysku - prawym przyciskiem myszy "Zapisz obrazek jako...").

[Leszek]

Jak w prosty sposób narysować pięciokąt równoboczny. |    Jak narysować trójkąt równoboczny.
                       
Rysujemy kolejno:
3 koła (a,b,c)
4 proste (cd, ef, g,h + linię poziomą) Prosta cd wyznacza punkt 0
krawędzie pięciokąta
i... pentagram

Inny sposób rysowania pięciokąta foremnego

Rysujemy kolejno:
- linię A,B
- na linii okrąg
- od punktu B (tym samym rozstawem cyrkla, którym rysowaliśmy okrąg) oznaczamy punkty 1 i 2 na okręgu, aby wyznaczyć punkt 3 przecinający linię
- od punktów A i B wyznaczamy punk C
- łączymy C ze środkiem okręgu, by stworzyć punkt D
- od punktu 3 robimy łuk D,E
- od punku D robimy łuk E,F.
Cięciwa  D, E jest bokiem pięciokąta foremnego.

Jak (w prosty sposób) narysować kwadrat.       Jak narysować sześciokąt (promień = bok).
   
Rysujemy kolejno (dot. kwadratu):
- prostą A,B
- cyrklem wyznaczamy punkt C
- łączymy C ze środkiem okręgu, by stworzyć punkty D i E.
- łączymy A,D,B,E i mamy kwadrat.

Inny sposób rysowania kwadratu.
 
Rysujemy kolejno:
- linię A,B
- wbijamy cyrkiel pod linia AB,B, mniej więcej w połowie tej linii
- rysujemy co najmniej pół okręgu o promieniu O, A
- łączymy C i D
- od punktu A przez punkt D rysujemy prostą prostopadłą
- odmierzamy cyrklem bok A,B i tworzymy bok A,E, a następnie boki E,F i B,F.
 Gdy mamy już narysowany kąt prosty możemy stworzyć kwadrat dowolnej wielkości.

Jeszcze inny sposób rysowania kwadratu.



Rysunek koła i kwadratu o takim samym obwodzie                                    Proporcja FI i Złoty Prostokąt zawarte w rysunku

Rysujemy kolejno:
- linię E,F
- okrąg nr 2 i 3 (promień koła nr 3 jest średnicą koła nr 2)
- cyrklem wyznaczmy punkt 4
- łączymy punkt 4 ze środkiem okręgu, by stworzyć punkty B i C
- promieniem okręgu nr 3 wyznaczamy boki kwadratu
- łączymy punkt C ze środkiem okręgu nr 2, by stworzyć punkt D
- z punktów C i B rysujemy łuki łączące punkty E i F
- z punktu A rysujemy zewnętrzny okrąg.

Powyższe koło z kwadratem bez zbędnych linii pomocniczych oraz efekt końcowy.



Podstawowe pojęcia

http://pl.wikipedia.org/wiki/Ko%C5%82o_(geometria)

[Leszek]

Złoty odcinek, złoty prostokąt, złota spirala.



Rysowanie złotego odcinka

Najprostszy sposób polega na użyciu jednej (czerwonej) linii i czterech okręgów.
Linia niebieska to złoty podział odcinka...


Inne metody

1) Odcinek AB=1 dzielimy na pół
2) Kreślimy prostą BC=1/2 prostopadłą do AB
3) Zamykamy trójkąt przy pomocy przeciwprostokątnej
4) Z punktu C kreślimy łuk o promieniu BC=1/2 przecinający przeciwprostokątną
5) z punktu A kreślimy łuk, który przecina odcinek AB tworząc złoty podział odcinka


Odcinek AB dzielimy na połowy i znajdujemy punkt S. Kreślimy prostą prostopadłą do AB
w punkcie A. Odkładamy na tej prostej odcinek AC o długości równej |AB|.
Z punktu C kreślimy łuk o środku w punkcie S do przecięcia z półprostą BA - znajdujemy
punkt E. Na odcinku AB odkładamy punkt D tak by |EA| = |AD|.

Na podstawie "Poradnik Inżyniera" Matematyka Wyd. NT 1971r.
http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=2517

Złoty podział odcinka otrzymasz rysując złoty prostokąt, choć istnieją też inne sposoby.

To co powyżej, ale jako animacja.


Dodając kolejne kwadraty tworzymy kolejne złote prostokąty. Proces trwa w nieskończoność.


Wyjściowy kwadrat można podzielić na pół okręgami lub skromniej - punkty E i F na kolejnym rysunku.


Inny sposób rysowania Złotych Prostokątów
Linie przerywane i koła pokazują jak rysuje się Złoty Prostokąt wyjściowy
i kolejne Złote Prostokąty, wpisane w prostokąt wyjściowy. (Wszystkie zachowują proporcje prostokąta wyjściowego.)



Tworzenie samopodobnych (fraktalnych) Złotych Prostokątów i Złotej Spirali.


Dla zainteresowanych.


Powstawanie "złotych cięć" na bokach kwadratu:

Rysujemy kolejno:
- kwadrat A,B,C,D
- cyrklem wyznaczamy E i F, aby wyznaczyć punkt G
- z punktu G rysujemy łuki A,A` oraz B, B`
- z punktu D rysujemy łuk A`,A``
- z punktu C rysujemy łuk B`, B``
- tym samym rozstawem cyrkla odmierzamy odcinek A,H

To samo z wyżej, ale z dorysowanym Złotym Prostokątem.

[Leszek]

Symbol TAO.
 
TAO (...) — podstawowe pojęcie filozofii chińskiej, kluczowe dla taoizmu, ale używane również przez inne kierunki m.in. konfucjanizm.
W zależności od autora i szkoły terminowi tao przypisywane są bardzo rożne znaczenia,
od „uniwersalnej zasady kierującej wszechświatem” po „metodę postępowania [danej osoby]”.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Tao

Czy małe okręgi są tożsame z dużymi?

[Leszek]

Odcinki (3, 4, 5), płaszczyzny (trójkąt i kwadraty)
i twierdzenie Pitagorasa:

Twierdzenie Pitagorasa:
"Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego
jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych."
Innymi słowy:
http://www-users.mat.uni.torun.pl/~monia/mg]

[Leszek]

[Leszek]

W dwudziestościanie znajdziesz trzy idealnie wpisane w niego Złote Prostokąty.



Ogień życia oparty na Phi

[Leszek]

Spirale, fraktale i krzywa Kocha



http://thecleaver.blogspot.com/2008/06/go-your-own-way-gnosis-and-fractal.html#809189D2-7517-4af1-BAF0-1A36C3BB8640&command=%20m_objCurrentDocument.getElementById(%27globalWrapper%27).style.position%3D%27relative%27%3B

Krzywa Kocha


7 pierwszych kroków algorytmu generującego krzywą Kocha.

Płatek śniegowy Kocha


http://pl.wikipedia.org/wiki/Krzywa_Kocha

[Leszek]

Dwa czworościany tworzą Czworościan Gwiaździsty (a) LUB
- gdy "otworzą" swoje trzy trójkątne ściany - Ośmiościan...(D)

[VAV EL]

Zrobiłem 3 "najciekawsze" ujęcia tetraedru gwieżdzistego korzystając z modelu kryształowego (taki  tylko mam  ) W zależności od kąta z którego obserwujemy  tworzy rózne figury, choć to ten sam model. Warto byłoby  zawsze go mieć pod ręką  , w 2D jest ciężko  wyobrazić sobie  "magię" tego kształtu.





kliknij obrazek aby powiększyć

Dodawałem już tego linka gdzies na to forum, ale jeszcze raz :
http://www.theosopher.com/indexfiles/daat.html
klikając w okienko i przesuwając myszką możemy dokładnie obejrzeć sobie jak wyglądają cienie 2D tej figury


Jest  taki  do wycinania i sklejenia (jak w pierwszym poście Leszka) Melchizedek dodał do swojej książki taki model , ale niestety jest z błędem i nie daje się z niego skleić figury.Ten chyba jest ok.



 Jako pierwszy opisał go Luca Pacioli w dziele "De divina proportione" z lat 1496–98, który początkowo nazwał go octahedron elevatus. Sto lat później w 1609 roku Johanes Kepler nazwał go  stella octangula