3. Wszechświat i jego geometryczne wzorce

Topologia w geometrii, szczególnie omawianej na tym forum, wydaje się łączyć bardzo wiele, od tetragramatonu nakładania figur i ich powielanie, po torusy i toroidy
Polecam też ten tekst
http://ogigi.polsl.pl/biuletyny/zeszyt_7/mirski_kpl.pdf

Wstęga Möbiusa i aksjomat Pascha leżą u początków topologii, dyscypliny matematycznej zdającej sprawę z najogólniejszych zasad geometrii, której potrzebę przeczuwał Leibniz, inspirował Gauss, a której powstanie przypada na drugą połowę XIX wieku.

Jej siostrzycą jest topologia ogólna - nazywana też mnogościową - której motywacje sięgają Arystotelesa i Scholastyków XIV wieku - ale która w matematyce pojawiła się w końcu wieku XIX jako zbiór środków dowodowych analizy i geometrii, a z początkiem naszego wieku wyodrębniła się jako dyscyplina samodzielna. Bada obiekty mnogościowe, więc mogłaby być uważana za gałąź teorii mnogości, ale sposób traktowania zadań jest taki, jak w powstałej wcześniej topologii geometrycznej.
Geometryczny nurt topologii rozwijał się - począwszy od Gaussa - pod wpływem potrzeb analizy. Teoria funkcji analitycznych postawiła zadanie wyeliminowania z rozważań funkcji wielowartościowych poprzez zinterpretowanie ich jako funkcji jednowartościowych na powierzchniach nakrywających ich dziedziny. Redukcje tego zagadnienia - nazywanego zagadnieniem uniformizacji - wiodły do twierdzenia nazywanego twierdzeniem o zachowaniu obszaru, które miało orzekać, że podzbiór otwarty przestrzeni euklidesowej, przeniesiony za pomocą homeomorfizmu punktowego w inne jej miejsce, nadal będzie zbiorem otwartym. Twierdzenia dowiódł Brouwer, nie bacząc, że problem uniformizacji został rozstrzygnięty wcześniej przez Koebego na innej drodze. Jeden z wniosków tego twierdzenia orzekał, że przestrzeni euklidesowych różniących się wymiarami nie można odwzorować na siebie homeomorfizmem punktowym. Uprawomocniło to stosowalność metod mnogościowych w geometrii. Prace Brouwera zawierały poza tym rozwinięcie procedury aproksymacyjnej łączącej metody istniejącej już wcześniej topologii symplicjalnej z metodami mnogościowymi. Dzięki nim i programowej rozprawie Dehna i Heegarda, dotyczącej topologii wielościanów, topologia o ukierunkowaniu geometrycznym określiła się jako dyscyplina niezależna od problemów zewnętrznych.
Jej podkładem stricte geometrycznym była topologia wielościanów - rozumianych jako bryły kompleksów symplicjalnych - z ich odwzorowaniami kawałkami liniowymi. Tu problemem stała się wkrótce hipoteza podstawowa - Hauptvermutung - według której dwie rozmaitości wielościenne, dające się odwzorować na siebie homeomorfizmem punktowym, miały dać się na siebie odwzorować homeomorfizmem kawałkami liniowym. Wcześniejszym problemem było to, czy rozmaitości - rozumiane jako sumy mnogościowe obszarów euklidesowych tego samego wymiaru - mogą być traktowane jako wielościany, tj. czy są triangulowalne. Hauptvemutung zapewniałaby, że triangulacja jest w określonym sensie jedyna. Zapewniałaby, że charakterystyka Eulera sumująca ze znakami na przemian ilości sympleksów traingulacji - kolejno według ich wymiarów - nie zmienia się, jeśli bryłę triangulacji poddać przekształceniu będącemu homeomorfizmem punktowym. Problem triangulacji został rozwiązany w wymiarze 2 w latach dwudziestych przez Radó, a w wymiarze 3 w latach czterdziestych przez Moise'a, który potwierdził Hauptvermutung do wymiaru 3. Mimo że w wymiarach wyższych Hauptvemutung jest nierozstrzygnięta bądź fałszywa, to charakterystyka Eulera okazała się niezmienna przy homeomorfizmach punktowych; dzięki wykorzystanej - poprzez teorię homologii - metodzie aproksymacji symplicjalnej, sumowanie ilości sympleksów można zastąpić sumowaniem liczb Bettiego, które są niezależne od triangulacji.
Topologia mnogościowa jest nie tylko dlatego inna, że jest mnogościowa, lecz głównie dlatego, iż nie stawia sobie niczego za cel. Jej charakter metafizyczny określił Cantor w swoim manifeście matematyki wyzwolonej. Chociaż początkowo traktowana była przede wszystkim jako pomoc w badaniu własności figur geometrycznych danych punktowo, to już od lat trzydziestych obiekty, takie jak N, discontinua Cantora, przestrzenie normalne Moore'a, uwolniły topologię mnogościową z więzów użytkowości. Patrząc na ten okres topologii mnogościowej, trudno nie poddać się nostalgii.
Mówiąc o wymiarze przestrzeni, myślimy o trzech wzajemnie prostopadłych wektorach, nie zważając na to, że fizyczność reperu trzech wektorów ma uzasadnienie jedynie w naszych warunkach ziemskich, gdzie Ziemia w swojej płaszczyźnie daje dwa z nich, a kierunek ciężaru trzeci. Jeśliby nam przyszło rozwinąć cywilizację w miejscu, gdzie brak grawitacji, skąd wzięłaby się w naszym umyśle prostopadłość? Niech to pytanie będzie sygnałem wątłości naszych przesłanek co do wyboru konwencji matematycznych, które są dalekie od uniwersalności. Mimo to wymiarem, opartym na pojęciu reperu wzajemnie prostopadłych wektorów, fizycy posługują się nie tylko w makroświecie, ale i w mikroświecie, o którym już Riemann pisał, że zapewne rządzi się inną geometrią.
Odgałęzieniem topologii przestrzeni euklidesowych jest teoria kontinuów, najpierw lokalnie spójnych, które są figurami o dostatecznej regularności. Ale uwagę bardziej przyciągają ich osobliwości. Krzywa trójkątowa Sierpińskiego - przy opisie globalnym - dostarcza nadal trudnych problemów dotyczących jej zachowania się przy odwzorowaniach. Krzywa Mengera ukazuje swoje różne nieoczekiwane oblicza, zależnie od położenia w przestrzeni. Ale jeszcze osobliwsze jest zachowanie się pseudołuku - continuum dziedzicznie nierozkładalnego wężowego. Jest ono homeomorficzne z każdym swoim podcontinuum wielopunktowym, na które można je zretrahować - w czym jest podobne do odcinka - ale - podobnie jak okrąg - jest przestrzenią jednorodną. Ma na sobie nietożsamościowe inwolucje ciągłe dowolnie bliskie tożsamości. Niektóre z kontinuów wężowych - przy pewnych położeniach na płaszczyźnie - są atraktorami homeomorfizmów płaszczyzny, ale nie wiadomo, czy atraktorem może być pseudołuk. Wspólne brzegi trzech obszarów - jezior Wady - zapoczątkowały dyscyplinę, która atrakcyjnością porównywalna jest z teorią liczb.
http://www.wiw.pl/delta/wiek.asp
Teoria węzłów

Szczególną gałęzią topologii rozmaitości jest teoria węzłów, która zajmuje się krzywymi zwykłymi zamkniętymi, zanurzonymi w przestrzeni trójwymiarowej. O ile w przestrzeniach dwuwymiarowych, a także cztero- i więcej wymiarowych każda taka krzywa daje się bez rozcinania przekształcić w okrąg, to w przestrzeni trójwymiarowej istnieje nieskończona liczba takich nierównoważnych krzywych, zwanych węzłami. Najprostszy z nich (oprócz trywialnego okręgu) to koniczynka, pokazana wyżej.

Teoria węzłów zajmuje się też położeniem w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej skończonych układów krzywych zamkniętych badając przy tym sposób ich zaczepienia. Oprócz wspomnianych węzłów jednowymiarowych, rozwijana jest także teoria węzłów wielowymiarowych,

Topologiczna teoria wymiaru

Teoria wymiaru topologicznego znajduje się na granicy topologii ogólnej i algebraicznej.
Kiedy Peano odkrył odwzorowanie ciągłe odcinka domkniętego na kwadrat, powstało niepokojące pytanie, czy topologia w ogóle jest w stanie rozróżnić wyżej wymiarowe przestrzenie euklidesowe, czy przypadkiem przestrzenie cztero- i pięciowymiarowe nie są homeomorficzne. Problem ten rozstrzygnął Brouwer, dowodząc niehomeomorficzności przestrzeni euklidesowych o różnym wymiarze. Brouwer był jednym z głównych prekursorów topologicznej teorii wymiaru, stworzonej przez Urysohna i Mengera.
Teoria wymiaru przypisuje przestrzeniom topologicznym liczbę całkowitą ≥ -1. Istnieje więcej niż jedno pojęcie wymiaru, są to m.in. klasyczne funkcje dim, ind i Ind oraz pewne algebraicznie subtelne definicje. Jednak wszystkie te funkcje przypisują wymiar równy -1 tylko i wyłącznie przestrzeni pustej, z kolei wymiar zerowy mają wszystkie przestrzenie dyskretne, ale nie tylko one. Wszystkie trzy powyższe funkcje pokrywają się w zakresie przestrzeni polskich (czyli metrycznych, ośrodkowych).
Nawet w tym ograniczonym zakresie wymiar topologiczny różni się cechami od algebraicznego lub geometrycznego. W przypadku przestrzeni liniowych lub zbiorów i rozmaitości algebraicznych, podobnie jak w przypadku wielościanów, wymiar ma własność logarytmiczną: wymiar iloczynu kartezjańskiego jest równy sumie wymiarów czynników. Topologia, nawet przestrzeni polskich, zajmuje się znacznie bogatszą rodziną obiektów i prawo logarytmiczne w topologii nie zachodzi, co pokazuje piękny przykład pochodzący od Erdősa:

Przestrzeń wszystkich ciągów klasycznej przestrzeni Hilberta o wymiernych współrzędnych, która jest jednowymiarowa, a jej kwadrat jest homeomorficzny z nią samą. Zgodnie z prawem logarytmicznym druga przestrzeń powinna mieć wymiar 1+1, ale ma wymiar 1. Trudniej o takie przykłady w przypadku zwartych przestrzeni metrycznych. Ich wymiar dim musi wynosić co najmniej dwa. Przykład dwóch przestrzeni o wymiarze dwa, ale wymiarze ich iloczynu wynoszącym trzy podał Pontriagin, a Bołtiański skonstruował taką zwartą, dwuwymiarową przestrzeń metryczną, której kwadrat wynosi trzy. Prawo logarytmiczne jest jednym z szeregu problemów teorii wymiaru.

Topologiczna teoria wymiaru jest (w dużej mierze) zawarta w teorii funkcji uniwersalnych,
Kształt Wszechświata jest jednym z zakresów zainteresowania kosmologii. Kosmologowie i astronomowie rozumieją przez to pojęcie zarówno lokalną geometrię jak i geometrię całości Wszechświata. Geometria globalna w skrócie zwana jest topologią, chociaż ściśle rzecz biorąc wybiega poza topologię.

Kształt Wszechświata nie odnosi się do zakrzywienia przestrzeni w pobliżu gęstej masy, a rozważane geometrie zakładają raczej równomierny rozkład masy. Dane astronomiczne wskazują, że mimo pewnej niejednorodności i anizotropowości struktury kosmosu w wielkiej skali, cały obserwowalny Wszechświat jest (uśredniając) jednorodny, izotropowy i rozszerza się jednostajnie lub w tym rozszerzaniu przyśpiesza.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Topologia

TOPOLOGICZNY MODEL WEKTOROWY

W prostym modelu wektorowym obiekty opisywane są bezpośrednio przez ciągi współrzędnych punktów. Jest to opis kompletny pod względem geometrycznym, ale nie dający bezpośrednio informacji o wzajemnym powiązaniu obiektów między sobą. Ewentualne powiązania między obiektami (np. sąsiedztwo) mogą być wykrywane jedynie przez zastosowanie geometrii analitycznej. Inaczej sytuacja wygląda w topologicznym modelu wektorowym, który oprócz informacji geometrycznych definiujących położenie I kształt obiektów zawiera również informacje o wzajemne powiązania między obiektami. W topologicznym modelu wektorowym wyodrębnia się trzy rodzaje elementów topologicznych:

• zerowymiarowe - punkty węzłowe,

• jednowymiarowe - linie graniczne,

• dwuwymiarowe - obszary,
http://209.85.135.132/search?q=cache:_08wOLJG-I4J:aragorn.pb.bialystok.pl/~dmalyszko/GIS2008.2009/gis2008_L4.ppt+topologia+w%C4%99z%C5%82%C3%B3w&cd=4&hl=pl&ct=clnk&gl=pl&client=firefox-a