Fraktalna rzeczywistość Poznanie geometryczne dotyczy tego, co wieczne - stwierdził Platon ponad dwa tysiące lat temu. Świadomość tego towarzyszyła człowiekowi od zarania dziejów. Najpierw przez wieki próbowano określić geometryczny kształt Ziemi, potem kształt orbit ciał niebieskich, by w czasach nowożytnych - dzięki geniuszowi Einsteina - opisać kształt czasoprzestrzeni.
Wszystkie te wielkie akty poznania mogły nastąpić w wyniku rozwoju geometrii, która wyznaczała drogi opisu świata rzeczywistego, złożonego z nieogarniętej liczby obiektów o przeróżnych kształtach i formach przestrzennych. Jednak ani klasyczna geometria Euklidesa, ani geometria eliptyczna i hiperboliczna nie wystarczały do opisu całej złożoności Natury. Przede wszystkim dlatego, iż geometrie te badały własności figur wyidealizowanych, doskonałych w swym kształcie okręgów, elips, trójkątów, kul itp., w kontekście odwzorowań izometrycznych. Dopiero nowa geometria rozwijająca się od końca ubiegłego stulecia - topologia - stworzyła podstawy do rozważań nad holistycznymi własnościami obiektów, nad homomorfizmami (tj. bijekcjami w obie strony ciągłymi). Przedmiotem jej badań jest między innymi kształt i położenie, rozpatrywane w sensie własności figur, które zachowują się nawet wówczas, gdy zdeformowane figury tracą wszelkie własności metryczne i rzutowe. Stąd topologia rozumiana jest również jako geometria jakościowa, z której wywodzi się wszelkie inne poznanie geometryczne.
W ostatnich latach zanotowano niezwykłe osiągnięcia w dziedzinie topologii związane z tzw. geometrią fraktalną. Fraktale - niedawno odkryte figury geometryczne - otwierają nowe, nieosiągalne dotąd możliwości w zakresie badania struktury świata rzeczywistego, a także jego dynamiki. W dziedzinie modelowania złożoności Natury pojawił się więc nowy język geometrii eksperymentalnej. To nowe podejście zostało zapoczątkowane pod koniec lat siedemdziesiątych pracami matematyka Benoit'a Mandelbrota, a następnie zostało podjęte przez wielu badaczy.
"Chmury nie są kulami, góry stożkami, linie brzegowe kołami, kora nie jest płaska, ani też błyskawica nie porusza się po linii prostej" - napisał w The Fractal Geometry of Nature Mandelbrot (1982: 1). Wnikając głębiej w ten problem, dla uchwycenia nieregularności obiektów spotykanych w rzeczywistości, Mandelbrot odkrył nowe formy geometryczne, które od łacińskiego słowa fractus ("złamany") nazwał fraktalami. Wstępnie można stwierdzić, iż fraktale są obiektami geometrycznymi o łamanym lub nieregularnym kształcie, które wykazują samopodobną strukturę podczas zmierzającego do nieskończoności procesu redukcji ich rozmiarów.
Fraktale cechują następujące własności geometryczne i algebraiczne:
(1) nie posiadają unikalnej, charakterystycznej dla nich skali długości, gdyż powiększone lub pomniejszone nie zmieniają swych kształtów,
(2) są samopodobne na każdym poziomie obserwacji (pomiaru) w tym sensie, że po wycięciu z nich dowolnej małej części i jej powiększeniu powstanie obiekt wiernie naśladujący całość,
(3) przedstawione w sposób analityczny, opisywane są zależnościami rekurencyjnymi, a nie wzorami matematycznymi.
Tradycyjne figury geometryczne takie jak koła, trójkąty czy kwadraty, nie spełniają tych własności. Wycięty fragment kwadratu nie przypomina całego kwadratu. Jednocześnie jednak niektóre z tych figur, np. koło, poddają się procedurze renormalizacji opartej na pojęciu samopodobieństwa, czyli tendencji do wielopoziomowego powtarzania identycznych struktur geometrycznych. W czystej matematyce takie obiekty zostały zdefiniowane znacznie wcześniej (oczywiście nie nazywano ich fraktalami), były one traktowane jako swego rodzaju przypadki szczególne, "monstra", które w pewnym sensie potwierdzały ograniczoną zdolność poznania klasycznej geometrii. W dzisiejszej terminologii nazywane są one fraktalami deterministycznymi. Natomiast fraktale spotykane w rzeczywistości (nie sztuczne) określa się
jako losowe.
Mandelbrot (1982) stwierdził, że własnościami analogicznymi do fraktali deterministycznych cechują się obiekty spotykane w rzeczywistości. Znanym przykładem potwierdzającym jego tezę jest tzw. eksperyment W.F. Richardsona (1881-1953), który analizował długość wybrzeży Wielkiej Brytanii, Portugalii, Niemiec oraz Południowej Afryki. Richardson zauważył, że wyniki pomiaru długości linii wybrzeża zależą w dużym stopniu od skali mapy oraz odcinka pomiarowego. Im jednostka miary krótsza, tym linia wybrzeża dłuższa.
Eksperyment Richardsona potwierdził rzecz mało oczekiwaną: długość linii wybrzeża, podobnie jak krzywa von Kocha, zmierza do nieskończoności, jeśli długość odcinka miary zmierza w kierunku wartości infinitezymalnych (tj. nieskończenie małych), a prawdziwą długością wybrzeża jest nieskończoność, niezależnie od rozmiarów samego wybrzeża.
Czy jednak linia wybrzeża ma strukturę samopodobną, tzn. czy powiększenie fragmentu linii wybrzeża daje podobne efekty, jak powiększenie fragmentu linii von Kocha? Okazuje się, że w przybliżeniu zarówno fraktal matematyczny jak i fraktal naturalny mają we wszystkich skalach3 taką samą strukturę.
Ponieważ fraktale obrazują złożoność tak struktur matematycznych jak i świata rzeczywistego, powstaje pytanie, jak mierzyć stopień skomplikowania ich kształtu? Wiadomo, że długość linii brzegowych fraktali dąży do nieskończoności, przeto długość linii brzegowych nie jest dobrą miarą złożoności kształtu tych obiektów. Lepszą miarę zaproponował Mandelbrot w postaci pojęcia "wymiaru fraktalnego", który określa stopień meandrowania krzywej i jest w pewnym sensie miarą wypełnienia przestrzeni, w której ta krzywa jest zanurzona. W matematyce o takiej krzywej mówi się, że "czuje" przestrzeń (por. Schroeder 1991: 10). Pojęcie wymiaru fraktalnego prowadzi do zaskakujących spostrzeżeń i narusza powszechnie utrwalone w świadomości ludzkiej wyobrażenia o wymiarowaniu obiektów liniowych, powierzchniowych i objętościowych.
Mimo iż wydaje się zupełnie oczywiste, że punkt ma wymiar 0, linia wymiar 1, płaszczyzna wymiar 2, a przestrzeń jest trójwymiarowa, to jednak pojęcie wymiaru w matematyce ma długą i niezupełnie jeszcze zakończoną historię.
Na potrzebę głębszej analizy i bardziej precyzyjnego definiowania pojęcia wymiaru pierwszy zwrócił uwagę Poincaré w 1912 r. Stwierdził, że "prosta jest jednowymiarowa, ponieważ można rozdzielić dowolne dwa punkty na niej przecinając ją w jednym punkcie (który ma wymiar 0), natomiast płaszczyzna jest dwuwymiarowa, ponieważ dla rozdzielenia dowolnych dwóch punktów na płaszczyźnie musimy wyciąć całą krzywą zamkniętą (mającą wymiar 1). Nasuwa to myśl indukcyjnej natury wymiarowości: dana przestrzeń jest n-wymiarowa, jeżeli można rozdzielić dwa dowolne jej punkty usuwając podzbiór (n-1)-wymiarowy, i jeżeli podzbiór mniejszego wymiaru nie zawsze do tego wystarcza" (Courant, Robbins 1961: 323).
Powyższe stwierdzenia wykazują, że towarzyszące człowiekowi odczucie natury wymiarowości nawiązuje właśnie do topologicznego wymiaru obiektów, tak matematycznych jak i naturalnych.
Niektórzy matematycy, a wśród nich F. Hausdorff (1886-1942), L.E.J. Brouwer (1882-1966), A.S. Besicovich (1891-1970) i A.N. Kołmogorow (1903-1987), definiowali wymiar w inny sposób. Przy czym ich definicje charakteryzują tylko własności geometryczne obiektów, a naturę wymiarowości niekoniecznie opisują liczbami całkowitymi. Wymiar wyrażony liczbą
niecałkowitą - wydaje się to niemożliwe, ale taka właśnie sytuacja zachodzi w przypadku obiektów fraktalnych.
Wreszcie znane są takie obiekty fraktalne, których wymiar nie został dotąd określony, jak np. niektóre zbiory G. Julii (1893-1978). Natomiast wymiar Hausdorffa brzegu najsłynniejszego fraktala - zbioru Mandelbrota, którego fantazyjne kształty uchodzą za jedne z najbardziej skomplikowanych jakie wymyślono w matematyce (por. Peitgen, Richter 1986) - został określony dopiero w 1991 r. przez Shishikurę (1991) i wynosi 2,0. Urzekające piękno długo ukrywało tajemnicę swego wymiaru.
<![CDATA[<a href="http://www.youtube.com/v/zSvgIyecoHE&hl=pl_PL&fs=1&"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/zSvgIyecoHE&hl=pl_PL&fs=1&" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="480" height="385"></embed></object>" target="_blank">http://www.youtube.com/v/zSvgIyecoHE&hl=pl_PL&fs=1&"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/zSvgIyecoHE&hl=pl_PL&fs=1&" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="480" height="385"></embed></object></a>]]>Fragmenty zbioru Mandelbrota.
Film przedstawia dobrze znaną dekompozycję zbioru Mandelbrota. Przy kolejnych powiększeniach jego fragmentów pojawiają się coraz to nowe kompozycje kształtów. Uderzające jest również to, iż wewnątrz ukryte są identyczne struktury - coraz mniejsze zbiory Mandelbrota. Jego odkrywca - Mandelbrot - w pracy Peitgen i in. (1995: 471) wypowiedział się o tym zbiorze następująco: "Pod postacią zbioru Mandelbrota przyroda (a może matematyka?) daje nam wizualny odpowiednik tego, co w muzyce można by nazwać "tematem przewodnim i
jego wariacjami": wszędzie powtarzają się te same kształty, ale za każdym razem powtórzenie jest trochę inne. [...] zbiór ten stale oferuje nam nowości, nie jest on tak naprawdę fraktalem w myśl większości definicji: moglibyśmy nazwać go fraktalem brzegowym, granicznym fraktalem zawierającym wiele fraktali. W porównaniu z prawdziwymi fraktalami jego struktury są znacznie liczniejsze, jego harmonie bogatsze, a jego nieoczekiwaność jest bardziej nieoczekiwana" (Paitgen i in. 1995: 471).
Na ogół jednak nie ma problemów z określeniem wymiarów fraktali matematycznych. Natomiast rozróżnienie pomiędzy ich wymiarem topologicznym oraz wymiarem fraktalnym posłużyło do sformułowania następującej definicji fraktala: fraktal to figura, której wymiar fraktalny jest różny od topologicznego (por. Ciesielski, Pogoda 1995: 184). Powyższa definicja wraz z podanymi wcześniej własnościami fraktali pozwala na ścisły opis tych obiektów.
<![CDATA[<a href="http://www.youtube.com/v/uas_HJNAzfw&hl=pl_PL&fs=1&"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/uas_HJNAzfw&hl=pl_PL&fs=1&" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="480" height="385"></embed></object>" target="_blank">http://www.youtube.com/v/uas_HJNAzfw&hl=pl_PL&fs=1&"></param><param name="allowFullScreen" value="true"></param><param name="allowscriptaccess" value="always"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/uas_HJNAzfw&hl=pl_PL&fs=1&" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="480" height="385"></embed></object></a>]]>http://www.zep.amu.edu.pl/pl/wp-content/Fraktale.pdfAby wyjść poza standard wszczepiony wyobraźni, porzucić przyswojoną raz na zawsze wizualizację, należy odwołać się do... nieskończoności. Brzmi groźnie, lecz jest proste: wystarczy, w nieskończoność, poszukiwać ukrytych dla oka analogii oraz, w nieskończoność, śledzić rozwijające się wątki, czyli nowe, coraz szersze konteksty, korzystając konsekwentnie z relacji zwrotnej pomiędzy nimi. I, jeśli w ten sposób spojrzeć na to samo drzewo, okaże się, że na jego temat napisać można powieść, co więcej – w miejsce drzewa podstawić da się właściwie dowolny obiekt, a sens powieści nie ulegnie zmianie.
Świat, który oglądamy na co dzień, świat, który wydaje się znany, może, bardzo łatwo, stać się zupełnie nie znanym terenem fascynujących odkryć. Wystarczy tylko odpowiednio zmienić (wzbogacić? rozszerzyć?) sposób jego postrzegania.
Nie wiemy, że efekty postrzegania są zawsze względne i zależą w znacznej mierze od układu odniesienia oraz pozycji obserwatora wobec tego układu. Że „pokawałkowane postrzeganie” generuje tylko niespójne mozaiki, zamiast kompletnego filmu. Że świat kreujemy poprzez interpretację. I jeśli kreujemy go, interpretując całość poprzez pojedyncze, wyrwane z kontekstu fragmenty, to co warta jest nasza interpretacja? Tak postrzegany świat wydaje się pozbawiony logiki, rządzony przez przypadek, nieprzewidywalny. Nie może być inaczej, bo brak nam klucza do jego rozumienia.
E = mc2. Wiadomo, kto to wymyślił i co znaczą symbole. Wyobraźnia podsuwa obraz Einsteina, może nawet ten z plakatów, z wysuniętym językiem. Jakieś skojarzenie ze szkołą, miłe lub nie. I na tym wizja się kończy. Czy coś nam to daje, czy wpływa na sposób analizowania zdarzeń, zmienia nasze rozumienie świata? Czy może mieć związek z czymś tak pozornie odległym, jak cykl rozwojowy roślin? Albo z erozją w dolinach rzecznych? A może ma, lecz o tym nie wiemy? A jeśli ma, to jak wpływa na powstający „w nas” obraz świata?
http://ciekawnik.pl/swiat-wokol-nas/315-fraktalny-swiat-czyli-filozofia-naturyTutaj znajdziecie ciekawe fraktale jaki programy do ich tworzenia.
http://www.eugeniuszm.scholaris.pl/
